ГДЗ до вправи 37.17 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 37.17
Обчисліть:
1) $f'(0)$, якщо $f(x) = \sqrt{\frac{x - 1}{2x - 1}}$;
2) $f'(0)$, якщо $f(x) = (\cos 3x + 6)^3$.
Розв'язок вправи № 37.17
Коротке рішення
1) $f(x) = \sqrt{\frac{x - 1}{2x - 1}}, x_0 = 0$
$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\frac{x - 1}{2x - 1}}} \cdot \left( \frac{x - 1}{2x - 1} \right)' = \frac{1}{2\sqrt{\frac{x - 1}{2x - 1}}} \cdot \frac{1 \cdot (2x - 1) - (x - 1) \cdot 2}{(2x - 1)^2} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{x - 1}{2x - 1}}} \cdot \frac{1}{(2x - 1)^2}$
$f'(0) = \frac{1}{2\sqrt{\frac{0 - 1}{0 - 1}}} \cdot \frac{1}{(0 - 1)^2} = \frac{1}{2 \cdot 1} \cdot 1 = 0,5$
Відповідь: 0,5.
2) $f(x) = (\cos 3x + 6)^3, x_0 = 0$
$f'(x) = 3(\cos 3x + 6)^2 \cdot (\cos 3x + 6)' = 3(\cos 3x + 6)^2 \cdot (-\sin 3x \cdot 3) =$
$= -9 \sin 3x (\cos 3x + 6)^2$
$f'(0) = -9 \sin 0 \cdot (\cos 0 + 6)^2 = -9 \cdot 0 \cdot 7^2 = 0$
Відповідь: 0.
Детальне рішення
Ключ до розв'язання: Для знаходження значення похідної в точці необхідно спочатку продиференціювати складену функцію за правилом $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$, а потім підставити задане значення $x_0$. Теорія: Похідна та її застосування.
- У першому пункті спочатку беремо похідну від кореня (зовнішня функція), а потім — похідну від дробу (внутрішня функція) за правилом частки.
- У другому пункті ланцюжок диференціювання складається з трьох частин: степінь (куб) $\to$ косинус $\to$ лінійний аргумент $3x$.
- Значення синуса в нулі дорівнює 0, що автоматично робить увесь добуток у другому прикладі рівним нулю.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.