ГДЗ до вправи 38.10 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 38.10
Знайдіть таку точку графіка функції $f$, що проведена в цій точці дотична утворює з додатним напрямом осі абсцис кут $\alpha$, якщо:
1) $f(x) = \sqrt{3}x - \frac{x^3}{3}, \alpha = 60^\circ$;
2) $f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 1, \alpha = 45^\circ$.
Розв'язок вправи № 38.10
Коротке рішення
Кутовий коефіцієнт $k = f'(x_0) = \text{tg } \alpha$.
1) $f(x) = \sqrt{3}x - \frac{x^3}{3}, \alpha = 60^\circ$
$f'(x) = \sqrt{3} - x^2, \text{tg } 60^\circ = \sqrt{3} \Rightarrow \sqrt{3} - x^2 = \sqrt{3} \Rightarrow x^2 = 0 \Rightarrow x_0 = 0$.
$y_0 = f(0) = 0$.
Відповідь: $(0; 0)$.
2) $f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 1, \alpha = 45^\circ$
$f'(x) = 3x^2 - 4x + 1, \text{tg } 45^\circ = 1 \Rightarrow 3x^2 - 4x + 1 = 1 \Rightarrow 3x^2 - 4x = 0$.
$x_{01} = 0, y_{01} = -1; x_{02} = \frac{4}{3}, y_{02} = (\frac{4}{3})^3 - 2(\frac{4}{3})^2 + \frac{4}{3} - 1 = -\frac{23}{27}$.
Відповідь: $(0; -1)$ та $(1\frac{1}{3}; -\frac{23}{27})$.
Детальне рішення
Ключ до розв'язання: Знаходження точки на графіку за заданим кутом нахилу дотичної базується на розв'язанні рівняння $f'(x_0) = \text{tg } \alpha$. Кожному дійсному кореню рівняння відповідає окрема точка на графіку. Теорія: Похідна та її геометричний зміст.
- Для знаходження абсциси точки спочатку обчислюємо тангенс кута $\alpha$.
- Диференціюємо функцію $f(x)$ за правилами знаходження похідної суми та степеня.
- Розв'язуємо отримане рівняння відносно $x$. Для другого пункту рівняння є неповним квадратним.
- Після визначення $x_0$, підставляємо його значення у вихідну функцію для обчислення ординати $y_0$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.