До змісту

ГДЗ до вправи 38.10 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Умова вправи № 38.10

Знайдіть таку точку графіка функції ff, що проведена в цій точці дотична утворює з додатним напрямом осі абсцис кут α\alpha, якщо:

1) f(x)=3x−x33,α=60∘f(x) = \sqrt{3}x - \frac{x^3}{3}, \alpha = 60^\circ;

2) f(x)=x3−2x2+x−1,α=45∘f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 1, \alpha = 45^\circ.

Розв'язок вправи № 38.10

Коротке рішення

Кутовий коефіцієнт k=f′(x0)=tg αk = f'(x_0) = \text{tg } \alpha.

1) f(x)=3x−x33,α=60∘f(x) = \sqrt{3}x - \frac{x^3}{3}, \alpha = 60^\circ

f′(x)=3−x2,tg 60∘=3⇒3−x2=3⇒x2=0⇒x0=0f'(x) = \sqrt{3} - x^2, \text{tg } 60^\circ = \sqrt{3} \Rightarrow \sqrt{3} - x^2 = \sqrt{3} \Rightarrow x^2 = 0 \Rightarrow x_0 = 0.

y0=f(0)=0y_0 = f(0) = 0.

Відповідь: (0;0)(0; 0).

2) f(x)=x3−2x2+x−1,α=45∘f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 1, \alpha = 45^\circ

f′(x)=3x2−4x+1,tg 45∘=1⇒3x2−4x+1=1⇒3x2−4x=0f'(x) = 3x^2 - 4x + 1, \text{tg } 45^\circ = 1 \Rightarrow 3x^2 - 4x + 1 = 1 \Rightarrow 3x^2 - 4x = 0.

x01=0,y01=−1;x02=43,y02=(43)3−2(43)2+43−1=−2327x_{01} = 0, y_{01} = -1; x_{02} = \frac{4}{3}, y_{02} = (\frac{4}{3})^3 - 2(\frac{4}{3})^2 + \frac{4}{3} - 1 = -\frac{23}{27}.

Відповідь: (0;−1)(0; -1) та (113;−2327)(1\frac{1}{3}; -\frac{23}{27}).

Детальне рішення

Ключ до розв'язання: Знаходження точки на графіку за заданим кутом нахилу дотичної базується на розв'язанні рівняння f′(x0)=tg αf'(x_0) = \text{tg } \alpha. Кожному дійсному кореню рівняння відповідає окрема точка на графіку. Теорія: Похідна та її геометричний зміст.

  • Для знаходження абсциси точки спочатку обчислюємо тангенс кута α\alpha.
  • Диференціюємо функцію f(x)f(x) за правилами знаходження похідної суми та степеня.
  • Розв'язуємо отримане рівняння відносно xx. Для другого пункту рівняння є неповним квадратним.
  • Після визначення x0x_0, підставляємо його значення у вихідну функцію для обчислення ординати y0y_0.

Популярне у 10 класі