До змісту

ГДЗ до вправи 38.8 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Умова вправи № 38.8

У яких точках дотичні до графіка функції y=1xy = \frac{1}{x} паралельні прямій y=−xy = -x?

Розв'язок вправи № 38.8

Коротке рішення

f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x}, дотична паралельна y=−xy = -x.

1) Кутовий коефіцієнт прямої k=−1k = -1. Отже, f′(x0)=−1f'(x_0) = -1.

2) Знаходимо похідну: f′(x)=(1x)′=−1x2f'(x) = (\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^2}.

3) Розв'язуємо рівняння: −1x02=−1⇒x02=1⇒x01=1,x02=−1-\frac{1}{x_0^2} = -1 \Rightarrow x_0^2 = 1 \Rightarrow x_{01} = 1, x_{02} = -1.

4) Знаходимо відповідні ординати:

При x0=1x_0 = 1: y0=f(1)=11=1y_0 = f(1) = \frac{1}{1} = 1.

При x0=−1x_0 = -1: y0=f(−1)=1−1=−1y_0 = f(-1) = \frac{1}{-1} = -1.

Відповідь: (1;1)(1; 1) та (−1;−1)(-1; -1).

Детальне рішення

Ключ до розв'язання: Використовуйте властивість: якщо дотична паралельна прямій, то значення похідної в точці дотику дорівнює кутовому коефіцієнту цієї прямої. Теорія: Похідна та її застосування.

  • Кутовий коефіцієнт прямої y=−xy = -x дорівнює −1-1.
  • За таблицею похідних (1x)′=−1x2(\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^2}. Прирівнюємо цей вираз до −1-1.
  • Отримане квадратне рівняння має два розв'язки, що вказує на існування двох точок на гіперболі, у яких дотичні задовольняють умову.
  • Координати точок знаходимо шляхом підстановки знайдених значень xx у вихідну функцію f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x}.

Популярне у 10 класі