ГДЗ до вправи 38.12 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Кут $\alpha$ гострий, якщо $\text{tg } \alpha > 0$. Оскільки $f'(x) = \text{tg } \alpha$, потрібно довести, що $f'(x) > 0$ на всій області визначення.

1) $f(x) = x^5 + 2x - 8 \Rightarrow f'(x) = 5x^4 + 2$. Оскільки $x^4 \ge 0$, то $5x^4 + 2 \ge 2$, отже $f'(x) > 0$ для будь-якого $x$. Доведено.

2) $f(x) = \frac{4}{1 - x} = 4(1 - x)^{-1} \Rightarrow f'(x) = 4 \cdot (-1)(1 - x)^{-2} \cdot (-1) = \frac{4}{(1 - x)^2}$. Оскільки $(1 - x)^2 > 0$ при $x \ne 1$, то $\frac{4}{(1 - x)^2} > 0$. Доведено.

• У першому пункті парний степінь аргументу $x^4$ забезпечує невід'ємність першого доданка, а додавання числа 2 робить суму суворо додатною.
• У другому пункті ми застосували правило диференціювання складеної функції. Отриманий вираз є дробом з додатним чисельником та знаменником у квадраті, що гарантує додатність похідної на всій області визначення.