ГДЗ до вправи 40.13 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 40.13
Доведіть, що дана функція не має точок екстремуму:
1) $f(x) = 6x^5 - 15x^4 + 10x^3 - 20$;
2) $f(x) = \cos x + x$.
Розв'язок вправи № 40.13
Коротке рішення
Екстремумів немає, якщо похідна функції не змінює свій знак на всій області визначення.
1) $f(x) = 6x^5 - 15x^4 + 10x^3 - 20 \Rightarrow f'(x) = 30x^4 - 60x^3 + 30x^2 =$
$= 30x^2(x^2 - 2x + 1) = 30x^2(x - 1)^2$.
Оскільки $30x^2 \ge 0$ та $(x-1)^2 \ge 0$, то $f'(x) \ge 0$ для будь-якого $x \in \mathbb{R}$. Похідна дорівнює нулю в точках $x=0$ та $x=1$, проте через парні степені множників знак похідної при переході через ці точки не змінюється. Функція постійно зростає. Екстремумів немає. Доведено.
2) $f(x) = \cos x + x \Rightarrow f'(x) = -\sin x + 1 = 1 - \sin x$.
Відомо, що $-1 \le \sin x \le 1$, звідси $0 \le 1 - \sin x \le 2$. Похідна $f'(x) \ge 0$ для всіх $x \in \mathbb{R}$ та набуває нульового значення лише в окремих точках $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Оскільки знак не змінюється (похідна невід'ємна), функція монотонно зростає. Екстремумів немає. Доведено.
Детальне рішення
Ключ до розв'язання: Для того, щоб критична точка була точкою екстремуму, необхідно, щоб при переході через неї похідна функції змінювала свій знак. Якщо похідна лише торкається осі абсцис (залишаючись невід'ємною або недодатною), то функція зберігає характер монотонності, а точка екстремумом не є. Теорія: Достатні умови екстремуму.
- У першому пункті ми розкладаємо вираз похідної на множники. Отримані повні квадрати гарантують, що значення похідної не можуть бути від'ємними.
- У другому пункті використана обмеженість тригонометричної функції синус, що дозволяє стверджувати про невід'ємність всього виразу похідної.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.