ГДЗ до вправи 41.2 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 41.2
Знайдіть найбільше і найменше значення функції $f$ на вказаному відрізку:
1) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 4x, [0; 3]$;
2) $f(x) = x - 1 - x^3 - x^2, [-2; 0]$;
3) $f(x) = 2x^4 - 8x, [-2; 1]$;
4) $f(x) = \frac{x^4}{4} - 8x^2, [-1; 2]$.
Розв'язок вправи № 41.2
Коротке рішення
1) $f'(x) = x^2 - 4$. Нулі: $\pm 2$. У $[0; 3]$ входить $x = 2$.
$f(0) = 0$; $f(2) = -\frac{16}{3} = -5\frac{1}{3}$; $f(3) = -3$.
Відповідь: $\max = 0, \min = -5\frac{1}{3}$.
2) $f'(x) = 1 - 3x^2 - 2x = -(3x - 1)(x + 1)$. У $[-2; 0]$ входить $x = -1$.
$f(-2) = 1$; $f(-1) = -2$; $f(0) = -1$.
Відповідь: $\max = 1, \min = -2$.
3) $f'(x) = 8x^3 - 8 = 8(x - 1)(x^2 + x + 1)$. Точка $x = 1$ є кінцем відрізка $[-2; 1]$.
$f(-2) = 48$; $f(1) = -6$.
Відповідь: $\max = 48, \min = -6$.
4) $f'(x) = x^3 - 16x = x(x - 4)(x + 4)$. У $[-1; 2]$ входить лише $x = 0$.
$f(-1) = -7,75$; $f(0) = 0$; $f(2) = -28$.
Відповідь: $\max = 0, \min = -28$.
Детальне рішення
Ключ до розв'язання: Дослідження функції на найбільше та найменше значення завжди починається з визначення критичних точок (де $f'(x)=0$). Тільки ті точки, що знаходяться всередині вказаного відрізка, порівнюються з крайовими значеннями. Теорія: Алгоритм пошуку глобальних екстремумів.
- У першому пункті значення $\min$ досягається у внутрішній критичній точці $x=2$, а $\max$ — на лівому кінці відрізка.
- У другому пункті при розв'язуванні квадратного рівняння $3x^2 + 2x - 1 = 0$ корінь $1/3$ відкидається, бо він лежить правіше нуля.
- У третьому пункті похідна має лише один дійсний корінь $x=1$, який збігається з правою межею відрізка. Оскільки на $[-2; 1]$ похідна завжди від'ємна, функція спадає, і екстремуми знаходяться саме на кінцях.
- У четвертому пункті ми маємо парну степеневу функцію. Критична точка $0$ дає найбільше значення, а глобальний мінімум на цьому проміжку припадає на правий кінець відрізка.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.