ГДЗ до вправи 41.10 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $f'(x) = -2 \sin x - 2 \cos 2x = 2 (2 \sin^2 x - \sin x - 1)$.

Критичні точки на $\left[ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right]$: $x_1 = \frac{\pi}{2}$ та $x_2 = -\frac{\pi}{6}$.

Значення: $f\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0$; $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$; $f\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2,59$.

Відповідь: $\max = \frac{3\sqrt{3}}{2}, \min = 0$.

---

2) Перетворимо: $f(x) = 4 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x \right) = 4 \sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right)$.

На відрізку $\left[ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right]$ аргумент $t = x + \frac{\pi}{3} \in \left[ -\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6} \right]$.

$\sin t$ досягає максимуму $1$ (при $t = \frac{\pi}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{6}$) та мінімуму $-\frac{1}{2}$ (при $t = -\frac{\pi}{6} \Rightarrow x = -\frac{\pi}{2}$).

Екстремальні значення: $f_{max} = 4 \cdot 1 = 4$; $f_{min} = 4 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) = -2$.

Відповідь: $\max = 4, \min = -2$.

• У першому пункті після диференціювання ми отримали квадратне рівняння $2 \sin^2 x - \sin x - 1 = 0$. Його корені дають нам точки можливих екстремумів.
• У другому пункті аналіз діапазону зміни аргументу набагато наочніший: оскільки проміжок аргументу охоплює точку $\frac{\pi}{2}$, функція гарантовано досягає своєї амплітуди.
• Значення на кінцях відрізка у другому прикладі ($f(-\frac{\pi}{2}) = -2$ та $f(\frac{\pi}{2}) = 2$) порівнюються з піковим значенням $4$.