ГДЗ до вправи 42.10 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 42.10
Знайдіть точки перегину функції:
$y = 3x^5 + 10x^4 + 10x^3 - 5x - 4$.
Розв'язок вправи № 42.10
Коротке рішення
1) Перша похідна: $y' = 15x^4 + 40x^3 + 30x^2 - 5$.
2) Друга похідна: $y'' = 60x^3 + 120x^2 + 60x = 60x(x^2 + 2x + 1) = 60x(x + 1)^2$.
3) Критичні точки другого роду: $x = 0, x = -1$.
4) Аналіз знаків $y''$:
- При $x \in (-\infty; -1)$: $y'' < 0$.
- При $x \in (-1; 0)$: $y'' < 0$.
- При $x \in (0; +\infty)$: $y'' > 0$.
5) Зміна знака відбувається лише в точці $x = 0$. У точці $x = -1$ знак залишається від'ємним (функція зберігає опуклість вгору).
6) Координата $y$ для $x = 0$: $y(0) = -4$.
Відповідь: $(0; -4)$.
Детальне рішення
Ключ до розв'язання: Знаходження точок перегину многочлена вимагає аналізу знакосталості другої похідної. Критичні точки другого роду (де $y'' = 0$) є лише "претендентами" на перегин. Якщо при переході через точку знак похідної не змінюється (як у випадку з парним степенем множника), перегин відсутній. Теорія: Алгоритм пошуку точок перегину.
- Диференціюємо функцію двічі, використовуючи правила суми та степеня.
- При розкладанні $y''$ отримуємо множник $(x + 1)^2$, який завжди невід'ємний. Це означає, що точка $x = -1$ не ділить графік на ділянки різної опуклості.
- Зміна знака $y''$ з «мінус» на «плюс» відбувається тільки в точці $x = 0$, що робить її єдиною точкою перегину даної кривої.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.