ГДЗ до вправи 42.8 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 42.8
Знайдіть проміжки опуклості та точки перегину функції:
1) $y = x^3 - 2x^2 + x - 2$;
2) $y = x^4 - 6x^3 + 12x^2 - 3x + 4$.
Розв'язок вправи № 42.8
Коротке рішення
Визначимо проміжки знакосталості другої похідної.
1) $y = x^3 - 2x^2 + x - 2$.
$y' = 3x^2 - 4x + 1$; $y'' = 6x - 4$.
$y'' = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$. При $x \in (-\infty; \frac{2}{3}]$ — опукла вгору; при $x \in [\frac{2}{3}; +\infty)$ — опукла вниз.
Точка перегину: $(\frac{2}{3}; -\frac{52}{27})$.
Відповідь: $(-\infty; \frac{2}{3}]$ — вгору, $[\frac{2}{3}; +\infty)$ — вниз, $(\frac{2}{3}; -\frac{52}{27})$.
2) $y = x^4 - 6x^3 + 12x^2 - 3x + 4$.
$y' = 4x^3 - 18x^2 + 24x - 3$; $y'' = 12x^2 - 36x + 24 = 12(x - 1)(x - 2)$.
$y'' = 0 \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = 2$.
На $(-\infty; 1]$ та $[2; +\infty)$ — опукла вниз ($y'' \ge 0$); на $[1; 2]$ — опукла вгору $(y'' \le 0).$
Точки перегину: $x = 1 (y = 8)$ та $x = 2 (y = 14)$.
Відповідь: $[1; 2]$ — вгору, $(-\infty; 1]$ та $[2; +\infty)$ — вниз, $(1; 8)$ і $(2; 14)$.
Детальне рішення
Ключ до розв'язання: Дослідження функції на опуклість допомагає уточнити форму її графіка між точками екстремуму. Використання другої похідної дозволяє знайти ділянки, де крива спрямована "чашею вгору" або "куполом вниз". Теорія: Механічний та геометричний зміст другої похідної.
- Обчислюємо $y''$, двічі диференціюючи многочлен.
- Розв'язуємо лінійне (пункт 1) або квадратне (пункт 2) рівняння для знаходження критичних точок другого роду.
- Аналізуємо зміну знака $y''$ при переході через знайдені точки. Якщо знак змінюється, ми маємо справу з перегином.
- Підставляємо абсциси точок перегину в основну формулу функції для знаходження повних координат.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.