ГДЗ до вправи 43.5 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 43.5
Побудуйте графік функції $f(x) = x^2 (2x - 3)$ і знайдіть, користуючись ним, кількість коренів рівняння $f(x) = a$ залежно від значення параметра $a$.
Розв'язок вправи № 43.5
Коротке рішення
1) Дослідимо функцію $f(x) = 2x^3 - 3x^2$. $D(f) = \mathbb{R}$.
2) Нулі функції: $x^2(2x - 3) = 0 \Rightarrow x = 0$ та $x = 1,5$.
3) Похідна: $f'(x) = 6x^2 - 6x = 6x(x - 1)$. Критичні точки: $x = 0, x = 1$.
4) Екстремуми: $f(0) = 0$ (max), $f(1) = 2 \cdot 1^3 - 3 \cdot 1^2 = -1$ (min).
5) Кількість коренів рівняння $f(x) = a$ (кількість точок перетину графіка з прямою $y = a$):
- якщо $a < -1$ або $a > 0$ — 1 корінь;
- якщо $a = -1$ або $a = 0$ — 2 корені;
- якщо $-1 < a < 0$ — 3 корені.
Детальне рішення
Ключ до розв'язання: Для визначення кількості коренів рівняння з параметром ми будуємо графік лівої частини та аналізуємо кількість точок його перетину з горизонтальною прямою $y = a$. Особливу увагу приділяємо значенням функції в точках локальних екстремумів. Теорія: Дослідження функцій та побудова графіків.
- Функція є многочленом третього степеня, тому на нескінченності вона прямує до $+\infty$ та $-\infty$.
- Точка $(0; 0)$ є точкою локального максимуму, де графік лише торкається осі абсцис.
- Точка $(1; -1)$ є точкою локального мінімуму.
- Зміна кількості розв'язків відбувається саме в цих екстремальних значеннях $y$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.