ГДЗ до вправи 43.6 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 43.6
Побудуйте графік функції $f(x) = -x^2 (x^2 - 4)$ і знайдіть, користуючись ним, кількість коренів рівняння $f(x) = a$ залежно від значення параметра $a$.
Розв'язок вправи № 43.6
Коротке рішення
1) Дослідимо функцію $f(x) = -x^4 + 4x^2$. Функція парна (графік симетричний відносно осі $Oy$).
2) Нулі: $-x^2(x^2 - 4) = 0 \Rightarrow x = 0, x = \pm 2$.
3) Похідна: $f'(x) = -4x^3 + 8x = -4x(x^2 - 2)$. Критичні точки: $x = 0, x = \pm\sqrt{2}$.
4) Екстремуми: $f(0) = 0$ (min); $f(\pm\sqrt{2}) = -(\sqrt{2})^4 + 4(\sqrt{2})^2 = -4 + 8 = 4$ (max).
5) Аналіз кількості коренів рівняння $f(x) = a$ за допомогою горизонтальної прямої:
- якщо $a > 4$ — коренів немає;
- якщо $a = 4$ — 2 корені;
- якщо $0 < a < 4$ — 4 корені;
- якщо $a = 0$ — 3 корені ($x=0, \pm 2$);
- якщо $a < 0$ — 2 корені.
Детальне рішення
Ключ до розв'язання: Побудова графіка многочлена четвертого степеня дозволяє наочно побачити зміну кількості розв'язків рівняння. Завдяки парності функції ми отримуємо симетричну "M-подібну" криву. Теорія: Використання графічного методу для розв'язування задач із параметрами.
- Функція визначена на всій числовій прямій. Оскільки старший коефіцієнт від'ємний, вітки графіка спрямовані вниз.
- Локальні максимуми в точках $(\pm\sqrt{2}; 4)$ та локальний мінімум у точці $(0; 0)$ визначають критичні рівні параметра.
- У точці $a=0$ ми маємо 3 розв'язки через те, що пряма проходить крізь локальний мінімум та два нулі функції.
- Максимальна кількість коренів (чотири) спостерігається у "проміжку" між вершинами та основою центральної частини графіка.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.