ГДЗ до вправи 43.4 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 43.4
Побудуйте графік функції:
1) $f(x) = \frac{x - 3}{x - 1}$;
2) $f(x) = \frac{1}{x^2 - 2x}$;
3) $f(x) = \frac{1 + x^2}{1 - x^2}$;
4) $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$;
5) $f(x) = \frac{3x}{x^2 - 9}$;
6) $f(x) = \frac{2x}{(x + 1)^2}$.
Розв'язок вправи № 43.4
Коротке рішення
1) $f(x) = \frac{x - 3}{x - 1}$;
Гіпербола: $y = 1 - \frac{2}{x - 1}$. Асимптоти $x = 1, y = 1$. Нуль: $x = 3$.
2) $f(x) = \frac{1}{x^2 - 2x}$;
$D(f) = \mathbb{R} \setminus \{0, 2\}$. Асимптоти: $x = 0, x = 2, y = 0$. Екстремум: $(1; -1)$ — max.
3) $f(x) = \frac{1 + x^2}{1 - x^2}$;
Парна. Асимптоти: $x = \pm 1, y = -1$. Екстремум: $(0; 1)$ — max.
4) $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$;
Парна. $y = 0$ — гориз. асимптота. Екстремум: $(0; 1)$ — max. Точки перегину: $x = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$.
5) $f(x) = \frac{3x}{x^2 - 9}$;
Непарна. Асимптоти: $x = \pm 3, y = 0$. Функція завжди спадає на ОДЗ.
6) $f(x) = \frac{2x}{(x + 1)^2}$.
Асимптоти: $x = -1, y = 0$. Нуль: $x = 0$. Екстремум: $(1; 0,5)$ — max. Похідна $f'(x) = \frac{2(1 - x)}{(x + 1)^3}$.
Детальне рішення
Ключ до розв'язання: Під час дослідження функцій з кратними коренями знаменника (як у прикладі 6) важливо звертати увагу на зміну знаку функції при переході через точку розриву. Горизонтальні асимптоти визначаються границями при $x \to \infty$. Теорія: Повне дослідження функції за допомогою похідної.
- У прикладі 4 графік називається "Локоном Аньєзі" — він завжди додатний і має плавний максимум.
- У прикладі 5 функція спадає на кожному інтервалі ОДЗ, оскільки похідна завжди від'ємна.
- У прикладі 6 знаменник піднесений до квадрата, тому ліворуч і праворуч від вертикальної асимптоти функція має однакові за знаком нескінченні границі.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.