ГДЗ до вправи 44.14 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 44.14
Розв’яжіть нерівність:
1) $\frac{x - 2}{x + 3} \geqslant \frac{3x - 4}{x + 3}$;
2) $\frac{x - 1}{x} - \frac{x + 1}{x - 1} < 2$.
Розв'язок вправи № 44.14
Коротке рішення
1) $\frac{x - 2}{x + 3} - \frac{3x - 4}{x + 3} \geqslant 0 \Rightarrow \frac{x - 2 - 3x + 4}{x + 3} \geqslant 0 \Rightarrow \frac{-2x + 2}{x + 3} \geqslant 0$
$\frac{2(1 - x)}{x + 3} \geqslant 0$. Нулі: $x = 1$ та $x = -3$ (виколота). Знак змінюється на $(-3; 1]$.
Відповідь: $(-3; 1]$.
2) $\frac{x - 1}{x} - \frac{x + 1}{x - 1} - 2 < 0 \Rightarrow \frac{(x-1)^2 - x(x+1) - 2x(x-1)}{x(x-1)} < 0$
$\frac{x^2 - 2x + 1 - x^2 - x - 2x^2 + 2x}{x(x-1)} < 0 \Rightarrow \frac{-2x^2 - x + 1}{x(x-1)} < 0 \Rightarrow \frac{2x^2 + x - 1}{x(x-1)} > 0$
$\frac{(2x - 1)(x + 1)}{x(x - 1)} > 0$. Точки: $-1; 0; 0,5; 1$.
Проміжки: $(-\infty; -1) \cup (0; 0,5) \cup (1; +\infty)$
Відповідь: $(-\infty; -1) \cup (0; 0,5) \cup (1; +\infty)$.
Детальне рішення
Ключ до розв'язання: Головне правило раціональних нерівностей — не множити обидві частини на вираз зі змінною, оскільки ми не знаємо його знака. Замість цього переносимо все в один бік і зводимо до спільного знаменника. Теорія: Зведення раціональних нерівностей до стандартного вигляду.
- У першому пункті знаменники вже однакові, що спрощує додавання дробів. Зміна знака нерівності при діленні на $-2$ є критичним моментом.
- У другому пункті необхідно ретельно виконати алгебраїчні спрощення в чисельнику після зведення до спільного знаменника $x(x-1)$.
- Аналіз знаків для чотирьох критичних точок у другому прикладі дозволяє побудувати інтервали "хвилькою".
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.