ГДЗ до вправи 44.19 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 44.19
Побудуйте графік функції:
1) $f(x) = \begin{cases} x^4, & \text{якщо } x < 0, \\ \sqrt{x}, & \text{якщо } x \geqslant 0; \end{cases}$
2) $f(x) = \begin{cases} x^5, & \text{якщо } x < -1, \\ -x - 2, & \text{якщо } x \geqslant -1. \end{cases}$
Користуючись побудованим графіком, укажіть проміжки зростання і проміжки спадання даної функції.
Розв'язок вправи № 44.19
Коротке рішення
1) $f(x) = \begin{cases} x^4, & x < 0 \\ \sqrt{x}, & x \geqslant 0 \end{cases}$
Для $x < 0$ функція спадає (ліва частина параболи $y = x^4$). Для $x \geqslant 0$ функція зростає (вітка $y = \sqrt{x}$). У точці $x = 0$ значення збігаються ($0^4 = 0, \sqrt{0} = 0$).
Відповідь: зростає на $[0; +\infty)$, спадає на $(-\infty; 0]$.
2) $f(x) = \begin{cases} x^5, & x < -1 \\ -x - 2, & x \geqslant -1 \end{cases}$
Для $x < -1$ функція зростає (частина $y = x^5$). Для $x \geqslant -1$ функція спадає (пряма з від'ємним кутовим коефіцієнтом). При $x = -1$ функції неперервні: $(-1)^5 = -1$ та $-(-1) - 2 = -1$.
Відповідь: зростає на $(-\infty; -1]$, спадає на $[-1; +\infty)$.
Детальне рішення
Ключ до розв'язання: Побудова графіка кускової функції виконується шляхом малювання кожної її частини на відповідному інтервалі аргументу. Проміжки монотонності визначаються за візуальним напрямком графіка (рух "вгору" або "вниз" при збільшенні $x$) або за властивостями елементарних функцій. Теорія: Кусково-задані функції та їх дослідження.
- У першому пункті ми поєднуємо степеневу функцію з парним показником та корінь. Оскільки обидві проходять через початок координат, графік є неперервним. Точка $(0; 0)$ є точкою мінімуму.
- У другому пункті поєднується непарний степінь та лінійна функція. Перевірка неперервності у точці "стику" $x = -1$ підтверджує, що графік не має розривів. Точка $(-1; -1)$ є точкою максимуму.
- Зверніть увагу: при вказуванні проміжків монотонності для неперервних функцій кінцеві точки зазвичай включаються у відповідь.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.