ГДЗ до вправи 44.16 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 44.16
Розв’яжіть нерівність:
$\left| \frac{x}{x^2 - 9} \right| \leqslant \frac{x}{x^2 - 9}$.
Розв'язок вправи № 44.16
Коротке рішення
$\left| \frac{x}{x^2 - 9} \right| \leqslant \frac{x}{x^2 - 9}$
За властивістю модуля $|a| \leqslant a$ тоді і тільки тоді, коли $a \geqslant 0$
$\frac{x}{x^2 - 9} \geqslant 0 \Rightarrow \frac{x}{(x - 3)(x + 3)} \geqslant 0$
Нулі: $x = 0$; Точки розриву: $x = -3, x = 3$
Метод інтервалів: на $(-3; 0]$ маємо знак $+$, на $(3; +\infty)$ маємо знак $+$
Відповідь: $(-3; 0] \cup (3; +\infty)$.
Детальне рішення
Ключ до розв'язання: Використовуємо означення модуля: модуль числа завжди більший або дорівнює самому числу ($|a| \geqslant a$). Рівність $|a| = a$ досягається тоді і тільки тоді, коли число невід’ємне ($a \geqslant 0$). Отже, дана нерівність рівносильна умові, що вираз під знаком модуля є невід’ємним. Теорія: Властивості модуля та раціональні нерівності.
- Спрощуємо задачу, переходячи до розв'язування раціональної нерівності $\frac{x}{(x-3)(x+3)} \geqslant 0$.
- Визначаємо критичні точки: чисельник дорівнює нулю при $x = 0$, а знаменник не визначений при $x = -3$ та $x = 3$.
- Розміщуємо точки на числовій осі: точки $-3$ та $3$ — "виколоті" (порожні), оскільки ділення на нуль неможливе, а точка $0$ — зафарбована (входить у розв'язок).
- Застосовуємо метод інтервалів, перевіряючи знак на кожному проміжку. Наприклад, при $x = 1$ вираз $\frac{1}{1-9} < 0$, а при $x = 4$ вираз $\frac{4}{16-9} > 0$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.