ГДЗ до вправи 44.12 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 44.12
Розв’яжіть нерівність:
1) $(x^2 - 6x)(x^2 + 5x - 6) < 0$;
2) $(x^2 - 4x + 3)(x^2 + 3x + 2) \geqslant 0$;
3) $4x^3 - 25x < 0$;
4) $\frac{x^3 - 16x}{x^2 - x - 30} < 0$;
5) $(x - 1)(x + 3)^2(x - 2) < 0$;
6) $(2x + 1)^2(x^2 - 4x + 3) > 0$;
7) $(2x + 1)^2(x - 1)(x - 2) \geqslant 0$;
8) $(x - 5)(x + 4)(x^2 + 6x + 9) \geqslant 0$.
Розв'язок вправи № 44.12
Коротке рішення
1) $x(x - 6)(x + 6)(x - 1) < 0$. Нулі: $-6, 0, 1, 6$. Проміжки: $(-6; 0) \cup (1; 6)$.
Відповідь: $(-6; 0) \cup (1; 6)$.
2) $(x - 1)(x - 3)(x + 1)(x + 2) \geqslant 0$. Нулі: $-2, -1, 1, 3$. Проміжки: $(-\infty; -2] \cup [-1; 1] \cup [3; +\infty)$.
Відповідь: $(-\infty; -2] \cup [-1; 1] \cup [3; +\infty)$.
3) $x(2x - 5)(2x + 5) < 0$. Нулі: $-2,5; 0; 2,5$. Проміжки: $(-\infty; -2,5) \cup (0; 2,5)$.
Відповідь: $(-\infty; -2,5) \cup (0; 2,5)$.
4) $\frac{x(x - 4)(x + 4)}{(x - 6)(x + 5)} < 0$. Нулі: $-5, -4, 0, 4, 6$. Проміжки: $(-\infty; -5) \cup (-4; 0) \cup (4; 6)$.
Відповідь: $(-\infty; -5) \cup (-4; 0) \cup (4; 6)$.
5) $(x - 1)(x + 3)^2(x - 2) < 0$. Нулі: $-3, 1, 2$. Парний степінь $(x + 3)^2$ не змінює знак. Проміжок: $(1; 2)$.
Відповідь: $(1; 2)$.
6) $(2x + 1)^2(x - 1)(x - 3) > 0$. Нулі: $-0,5; 1; 3$. Умова $(x - 1)(x - 3) > 0$ при $x \ne -0,5$. Проміжки: $(-\infty; -0,5) \cup (-0,5; 1) \cup (3; +\infty)$.
Відповідь: $(-\infty; -0,5) \cup (-0,5; 1) \cup (3; +\infty)$.
7) $(2x + 1)^2(x - 1)(x - 2) \geqslant 0$. Нулі: $-0,5; 1; 2$. Проміжки: $(-\infty; 1] \cup [2; +\infty)$.
Відповідь: $(-\infty; 1] \cup [2; +\infty)$.
8) $(x - 5)(x + 4)(x + 3)^2 \geqslant 0$. Нулі: $-4, -3, 5$. Проміжки: $(-\infty; -4] \cup \{ -3 \} \cup [5; +\infty)$.
Відповідь: $(-\infty; -4] \cup \{ -3 \} \cup [5; +\infty)$.
Детальне рішення
Ключ до розв'язання: Для розв'язування нерівностей вищих степенів використовується метод інтервалів. Спершу вираз розкладається на множники, знаходяться його нулі, які розбивають числову пряму на проміжки знакосталості. Теорія: Розв’язування нерівностей методом інтервалів.
- У прикладах 5-8 присутні вирази у квадраті. Важливо пам'ятати: при переході через точку, що відповідає множнику у парному степені, знак виразу не змінюється.
- У шостому завданні нерівність строга, тому точку $x = -0,5$, в якій вираз дорівнює нулю, необхідно виколоти з проміжку.
- У восьмому завданні нерівність нестрога, і ізольована точка $x = -3$ стає частиною відповіді, оскільки вона перетворює ліву частину на нуль.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.