ГДЗ до вправи 44.20 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 44.20
Дано функцію $f(x) = x^{-19}$. Порівняйте числа:
1) $f(1,6)$ і $f(2)$;
2) $f(-5,6)$ і $f(-6,5)$;
3) $f(-9,6)$ і $f(9,6)$;
4) $f(0,1)$ і $f(-10)$.
Розв'язок вправи № 44.20
Коротке рішення
$f(x) = x^{-19} = \frac{1}{x^{19}}$. Оскільки показник $-19$ непарний, функція спадає на проміжках $(-\infty; 0)$ та $(0; +\infty)$, і є непарною.
1) $f(1,6)$ і $f(2)$
$1,6 < 2 \Rightarrow f(1,6) > f(2)$ (спадання на додатному промені)
Відповідь: $f(1,6) > f(2)$.
2) $f(-5,6)$ і $f(-6,5)$
$-5,6 > -6,5 \Rightarrow f(-5,6) < f(-6,5)$ (спадання на від'ємному промені)
Відповідь: $f(-5,6) < f(-6,5)$.
3) $f(-9,6)$ і $f(9,6)$
$f(-9,6) < 0$ (від'ємне число в непарному степені), $f(9,6) > 0$ (додатне в будь-якому)
Відповідь: $f(-9,6) < f(9,6)$.
4) $f(0,1)$ і $f(-10)$
$f(0,1) > 0$, $f(-10) < 0 \Rightarrow$ будь-яке додатне число більше за будь-яке від'ємне
Відповідь: $f(0,1) > f(-10)$.
Детальне рішення
Ключ до розв'язання: Для порівняння значень функції ми використовуємо властивості степеневої функції з від'ємним непарним показником $y = x^{-(2n+1)}$. Такі функції спадають на кожному з інтервалів своєї області визначення та є непарними ($f(-x) = -f(x)$). Теорія: Властивості степеневої функції з цілим показником.
- У першому та другому пунктах ми порівнюємо аргументи одного знака. Оскільки функція спадна, більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції.
- У третьому та четвертому пунктах порівнюються значення функції для аргументів різних знаків. Для непарного показника знак результату збігається зі знаком аргументу: $f(x) > 0$ при $x > 0$ та $f(x) < 0$ при $x < 0$.
- Таким чином, порівняння чисел різних знаків зводиться до простого правила: додатне значення завжди більше за від'ємне.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.