ГДЗ до вправи 44.7 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $y = 3x^2 - 2x + 1$

Графік — парабола, вітки вгору. Вершина: $x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot 3} = \frac{1}{3}$.

$y_0 = 3 \cdot (\frac{1}{3})^2 - 2 \cdot \frac{1}{3} + 1 = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} + 1 = \frac{2}{3}$.

Відповідь: $E(y) = [\frac{2}{3}; +\infty)$.

2) $y = x + \frac{9}{x}$

При $x > 0$ за нерівністю Коші: $x + \frac{9}{x} \ge 2\sqrt{x \cdot \frac{9}{x}} = 6$.

При $x < 0$ за нерівністю Коші: $x + \frac{9}{x} \le -2\sqrt{(-x) \cdot (-\frac{9}{x})} = -6$.

Відповідь: $E(y) = (-\infty; -6] \cup [6; +\infty)$.

3) $y = -3x^2 - x - 2$

Графік — парабола, вітки вниз. Вершина: $x_0 = -\frac{-1}{2 \cdot (-3)} = -\frac{1}{6}$.

$y_0 = -3 \cdot (-\frac{1}{6})^2 - (-\frac{1}{6}) - 2 = -\frac{3}{36} + \frac{1}{6} - 2 = -\frac{1}{12} + \frac{2}{12} - \frac{24}{12} = -\frac{23}{12}$.

Відповідь: $E(y) = (-\infty; -\frac{23}{12}]$.

4) $y = \frac{2x}{x^2 - 4}$

$a = \frac{2x}{x^2 - 4} \Rightarrow ax^2 - 2x - 4a = 0$. Рівняння має розв'язки, якщо $D \ge 0$.

$D = (-2)^2 - 4 \cdot a \cdot (-4a) = 4 + 16a^2$.

$4 + 16a^2 \ge 0$ виконується для будь-якого $a \in \mathbb{R}$.

Відповідь: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

• У пунктах 1 та 3 ми шукаємо екстремум параболи. Оскільки область визначення — вся числова пряма, значення функції починаються або закінчуються у вершині.
• У пункті 2 застосовано нерівність між середнім арифметичним та середнім геометричним (Коші), що дозволяє знайти мінімальне та максимальне значення на додатних та від'ємних променях відповідно.
• У пункті 4 дослідження через дискримінант показує, що функція може набувати будь-яких дійсних значень, оскільки дискримінант відповідного квадратного рівняння завжди додатний.