ГДЗ до вправи 44.5 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 44.5
Дослідіть функцію на парність:
1) $f(x) = \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 + x}$;
2) $f(x) = \frac{|5x - 2| + |5x + 2|}{x^2 - 1}$;
3) $f(x) = \frac{1}{(3x - 1)^7} + \frac{1}{(3x + 1)^7}$.
Розв'язок вправи № 44.5
Коротке рішення
1) $f(x) = \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 + x}$
$D(f) = [-4; 4]$ — симетрична відносно $0$
$f(-x) = \sqrt{4 - (-x)} + \sqrt{4 + (-x)} = \sqrt{4 + x} + \sqrt{4 - x} = f(x)$
Відповідь: парна.
2) $f(x) = \frac{|5x - 2| + |5x + 2|}{x^2 - 1}$
$D(f) = \mathbb{R} \setminus \{-1; 1\}$ — симетрична відносно $0$
$f(-x) = \frac{|5(-x) - 2| + |5(-x) + 2|}{(-x)^2 - 1} = \frac{|-(5x + 2)| + |-(5x - 2)|}{x^2 - 1} = \frac{|5x + 2| + |5x - 2|}{x^2 - 1} = f(x)$
Відповідь: парна.
3) $f(x) = \frac{1}{(3x - 1)^7} + \frac{1}{(3x + 1)^7}$
$D(f) = \mathbb{R} \setminus \{-\frac{1}{3}; \frac{1}{3}\}$ — симетрична відносно $0$
$f(-x) = \frac{1}{(-3x - 1)^7} + \frac{1}{(-3x + 1)^7} = \frac{1}{(-(3x + 1))^7} + \frac{1}{(-(3x - 1))^7} =$
$= -\frac{1}{(3x + 1)^7} - \frac{1}{(3x - 1)^7} = -f(x)$
Відповідь: непарна.
Детальне рішення
Ключ до розв'язання: Алгоритм дослідження на парність включає два обов'язкові кроки: 1) перевірка симетричності області визначення відносно початку координат; 2) порівняння $f(-x)$ із $f(x)$ та $-f(x)$. Теорія: Парні та непарні функції.
- У першому пункті підкореневі вирази мають бути невід'ємними, що дає інтервал, симетричний відносно нуля. Перестановка доданків при підстановці $-x$ не змінює функцію.
- У другому пункті використовуємо властивість модуля: $|-a| = |a|$. Це дозволяє "прибрати" мінуси всередині модулів у чисельнику.
- У третьому пункті оскільки степінь 7 є непарним, мінус виноситься за дужки: $(-a)^7 = -a^7$. Це призводить до того, що вся функція змінює знак на протилежний.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.