ГДЗ до вправи 44.65 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 44.65
Знайдіть найбільший від’ємний корінь рівняння:
$\sin^2 x + \cos x + 1 = 0$.
Розв'язок вправи № 44.65
Коротке рішення
$\sin^2 x + \cos x + 1 = 0$
$1 - \cos^2 x + \cos x + 1 = 0 \Rightarrow -\cos^2 x + \cos x + 2 = 0 \Rightarrow \cos^2 x - \cos x - 2 = 0$
Нехай $\cos x = t, t \in [-1; 1]$. $t^2 - t - 2 = 0$
$t_1 = 2$ (не підходить, бо $2 > 1$), $t_2 = -1$
$\cos x = -1 \Rightarrow x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
Від’ємні корені: $k = -1 \Rightarrow x = -\pi$; $k = -2 \Rightarrow x = -3\pi \dots$
Найбільший від’ємний корінь: $-\pi$
Відповідь: $-\pi$
Детальне рішення
Ключ до розв'язання: Дане рівняння містить різні тригонометричні функції одного аргументу. Для розв’язування необхідно звести їх до однієї функції, використовуючи основну тригонометричну тотожність $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Після заміни змінної рівняння стає квадратним. Теорія: Метод заміни змінної у тригонометричних рівняннях.
- Першим кроком замінюємо $\sin^2 x$ на $1 - \cos^2 x$, щоб отримати рівняння, яке залежить лише від косинуса.
- Вводимо нову змінну $t = \cos x$. Важливо пам’ятати про обмеження: область значень косинуса — від $-1$ до $1$, тому корені квадратного рівняння поза цими межами є сторонніми.
- Отримавши загальну формулу для коренів $x = \pi + 2\pi k$, підставляємо цілі числа замість $k$, щоб знайти найбільший корінь, який є меншим за нуль.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.