ГДЗ до вправи 44.66 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 44.66
Скільки коренів рівняння $\cos 2x + \sin x = \cos^2 x$ належать проміжку $[-\pi; \pi]$?
Розв'язок вправи № 44.66
Коротке рішення
$\cos 2x + \sin x = \cos^2 x$ на проміжку $[-\pi; \pi]$
$\cos^2 x - \sin^2 x + \sin x = \cos^2 x \Rightarrow \sin x - \sin^2 x = 0$
$\sin x (1 - \sin x) = 0$
1) $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$. На $[-\pi; \pi]$ корені: $-\pi; 0; \pi$
2) $1 - \sin x = 0 \Rightarrow \sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. На $[-\pi; \pi]$ корінь: $\frac{\pi}{2}$
Усього коренів: 4
Відповідь: 4
Детальне рішення
Ключ до розв'язання: Для розв'язання рівняння необхідно використати формулу косинуса подвійного кута $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$. Після спрощення отримане рівняння розв’язується шляхом розкладання на множники. Кінцевим етапом є відбір коренів, що належать заданому відрізку. Теорія: Формули подвійного аргументу та відбір коренів.
- Підставляємо вираз для $\cos 2x$ у рівняння. Зверніть увагу, що $\cos^2 x$ в обох частинах скорочується, що значно спрощує подальші обчислення.
- Розкладаємо вираз на множники: добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один із множників дорівнює нулю. Це дає дві серії коренів.
- Для відбору коренів на проміжку $[-\pi; \pi]$ ми розглядаємо кожну серію окремо:
- Для $x = \pi n$: при $n=-1 \Rightarrow -\pi$; при $n=0 \Rightarrow 0$; при $n=1 \Rightarrow \pi$.
- Для $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$: при $k=0 \Rightarrow \frac{\pi}{2}$.
- Підсумовуючи всі знайдені значення, отримуємо загальну кількість коренів.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.