ГДЗ до вправи 10.29 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 10.29
Розв’яжіть систему рівнянь:
$$\begin{cases} x + \sqrt[5]{x} = y + \sqrt[5]{y}, \\ x^2 + y^2 = 2. \end{cases}$$
Розв'язок вправи № 10.29
Коротке рішення
Нехай $f(t) = t + \sqrt[5]{t}$. Оскільки $y = t$ та $y = \sqrt[5]{t}$ зростають на $\mathbb{R}$, то $f(t)$ — строго зростаюча.
$f(x) = f(y) \Rightarrow x = y$.
Підставимо в друге рівняння: $x^2 + x^2 = 2 \Rightarrow 2x^2 = 2 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.
Якщо $x = 1$, то $y = 1$; якщо $x = -1$, то $y = -1$.
Відповідь: $(1; 1), (-1; -1)$.
Детальне рішення
Ключ до розв’язання: Використання властивостей монотонності функцій дозволяє значно спростити системи рівнянь. Якщо функція є строго монотонною (тільки зростає або тільки спадає) на всій області визначення, то рівність значень функції означає рівність її аргументів. Тема: Функції та їх властивості.
1. Розглянемо перше рівняння системи: $x + \sqrt[5]{x} = y + \sqrt[5]{y}$. Введемо допоміжну функцію $f(t) = t + \sqrt[5]{t}$. Ця функція визначена для всіх дійсних чисел. Оскільки обидва її доданки є зростаючими функціями, то і їхня сума $f(t)$ є строго зростаючою функцією на $\mathbb{R}$.
2. Оскільки функція $f(t)$ монотонна, то рівність $f(x) = f(y)$ виконується лише за умови, що $x = y$.
3. Підставимо отриманий результат $y = x$ у друге рівняння системи: $$x^2 + x^2 = 2$$ $$2x^2 = 2 \Rightarrow x^2 = 1$$ Отримуємо два значення для $x$: $x_1 = 1$ та $x_2 = -1$.
4. Оскільки $y = x$, знаходимо відповідні пари значень: $(1; 1)$ та $(-1; -1)$. Обидві пари задовольняють початкову систему рівнянь.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.