ГДЗ до вправи 10.30 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 10.30
Доведіть, що:
$$\underbrace{\sqrt[3]{24 + \sqrt[3]{24 + \sqrt[3]{... + \sqrt[3]{24}}}}}_{100 \text{ радикалів}} < 3.$$
Розв'язок вправи № 10.30
Коротке рішення
Нехай $a_1 = \sqrt[3]{24}$. Оскільки $24 < 27 = 3^3$, то $a_1 < 3$.
Припустимо, що вираз із $n$ радикалами $a_n < 3$.
Тоді для $n+1$ радикалів: $a_{n+1} = \sqrt[3]{24 + a_n} < \sqrt[3]{24 + 3} = \sqrt[3]{27} = 3$.
Методом математичної індукції твердження доведено для будь-якої кількості радикалів, зокрема для 100.
Детальне рішення
Ключ до розв’язання: Для доведення нерівностей з вкладеними коренями зручно використовувати метод математичної індукції або послідовну оцінку виразів, починаючи з найглибшого кореня. Тема: Корінь n-го степеня.
Доведемо твердження крок за кроком:
- Розглянемо найглибший корінь: $\sqrt[3]{24}$. Оскільки $24 < 27$, а $\sqrt[3]{27} = 3$, то $\sqrt[3]{24} < 3$.
- Додамо до цього значення число 24: $24 + \sqrt[3]{24} < 24 + 3 = 27$.
- Знову добудемо кубічний корінь: $\sqrt[3]{24 + \sqrt[3]{24}} < \sqrt[3]{27} = 3$. Таким чином, вираз із двома радикалами також менший за 3.
- Повторюючи це міркування (ітерацію) будь-яку кількість разів, ми щоразу будемо отримувати під коренем число, менше за 27, а отже, результат завжди буде меншим за 3.
На 100-му кроці ми отримаємо: $$\sqrt[3]{24 + a_{99}} < \sqrt[3]{24 + 3} = 3.$$ Отже, нерівність доведено.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.