ГДЗ до вправи 10.24 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 10.24
Залежно від значення параметра $a$ визначте кількість коренів рівняння:
- $(x - a) \sqrt[4]{x + 1} = 0$;
- $(x - a) (\sqrt[4]{x} + 1) = 0$;
- $(x - a) (\sqrt[4]{x} - 1) = 0$.
Розв'язок вправи № 10.24
Коротке рішення
1) $(x - a) \sqrt[4]{x + 1} = 0$. ОДЗ: $x \ge -1$. Корені: $x_1 = a, x_2 = -1$.
Якщо $a < -1$, то $1$ корінь ($x = -1$);
Якщо $a \ge -1$, то: при $a = -1$ — $1$ корінь, при $a > -1$ — $2$ корені.
2) $(x - a) (\sqrt[4]{x} + 1) = 0$. ОДЗ: $x \ge 0$. Оскільки $\sqrt[4]{x} + 1 > 0$, корінь лише $x = a$.
Якщо $a < 0$, коренів немає;
Якщо $a \ge 0$, один корінь ($x = a$).
3) $(x - a) (\sqrt[4]{x} - 1) = 0$. ОДЗ: $x \ge 0$. Корені: $x_1 = a, x_2 = 1$.
Якщо $a < 0$, $1$ корінь ($x = 1$);
Якщо $a \ge 0$, то: при $a = 1$ — $1$ корінь, при $a \ge 0$ і $a \neq 1$ — $2$ корені.
Детальне рішення
Ключ до розв’язання: При дослідженні кількості коренів рівняння з параметром важливо не лише знайти потенційні корені кожного множника, а й перевірити, чи входять вони до області допустимих значень та чи не збігаються між собою. Тема: Корінь n-го степеня.
Завдання 1: Корені множників: $x=a$ та $x=-1$. ОДЗ рівняння $x \ge -1$. Якщо параметр $a$ менший за $-1$, то перший корінь стає стороннім, залишається лише один. Якщо $a$ більше за $-1$, маємо два різні корені. При $a = -1$ обидва корені збігаються в один.
Завдання 2: Друга дужка $\sqrt[4]{x} + 1$ ніколи не дорівнює нулю (мінімальне значення $1$), тому єдиним кандидатом на корінь є $x=a$. За ОДЗ він має бути невід'ємним. Отже, при від'ємних $a$ розв'язків немає, при $a \ge 0$ є один.
Завдання 3: Тут два потенційні корені: $x=a$ та $x=1$. ОДЗ $x \ge 0$. Якщо $a$ від'ємне, працює лише корінь $1$. Якщо $a$ додатне і не дорівнює $1$, маємо два корені. Якщо $a=1$, корені збігаються.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.