ГДЗ до вправи 10.26 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 10.26
Розв’яжіть рівняння $\sqrt[4]{x - 26} + \sqrt[3]{x} = 4$.
Розв'язок вправи № 10.26
Коротке рішення
ОДЗ: $x - 26 \ge 0 \Rightarrow x \ge 26$.
Розглянемо функцію $f(x) = \sqrt[4]{x - 26} + \sqrt[3]{x}$.
Функції $y = \sqrt[4]{x - 26}$ та $y = \sqrt[3]{x}$ є зростаючими на проміжку $[26; +\infty)$, отже $f(x)$ — зростаюча.
При $x = 27$: $\sqrt[4]{27 - 26} + \sqrt[3]{27} = \sqrt[4]{1} + 3 = 1 + 3 = 4$.
Рівність $4 = 4$ істинна. Оскільки функція монотонна, корінь єдиний.
Відповідь: $27$.
Детальне рішення
Ключ до розв’язання: Використовуємо властивість монотонності. Якщо в одній частині рівняння стоїть строго зростаюча функція, а в іншій — число, то рівняння може мати не більше одного кореня. Тема: Функції та їх властивості.
1. Визначаємо область визначення: корінь четвертого (парного) степеня вимагає, щоб $x - 26 \ge 0$, тобто $x \in [26; +\infty)$. Корінь третього степеня визначений для будь-яких чисел.
2. Досліджуємо ліву частину рівняння. Функція $g(x) = \sqrt[4]{x - 26}$ зростає на своїй області визначення. Функція $h(x) = \sqrt[3]{x}$ також зростає на всій числовій прямій. Сума двох зростаючих функцій є зростаючою функцією. Це доводить, що рівняння має щонайбільше один розв'язок.
3. Підбираємо корінь. Зручно підставляти числа, з яких легко добуваються корені заданих степенів. Найближче до 26 число, з якого добувається кубічний корінь, це 27. Підставивши його, отримуємо правильну рівність. Отже, $x = 27$ — єдиний корінь рівняння.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.