ГДЗ до вправи 13.18 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

$\sqrt{x + \frac{1}{4} + \sqrt{x + \frac{1}{4}} + \frac{1}{4}} = a - x$

$\sqrt{(\sqrt{x + \frac{1}{4}} + \frac{1}{2})^2} = a - x \Rightarrow \sqrt{x + \frac{1}{4}} + \frac{1}{2} = a - x$

$\sqrt{x + \frac{1}{4}} = a - x - \frac{1}{2}$

$\text{Нехай } \sqrt{x + \frac{1}{4}} = t, t \ge 0 \Rightarrow x = t^2 - \frac{1}{4}$

$t = a - (t^2 - \frac{1}{4}) - \frac{1}{2} \Rightarrow t^2 + t - a + \frac{1}{4} = 0$

$D = 1 - 4(1/4 - a) = 4a \ge 0 \Rightarrow a \ge 0$

$t = \frac{-1 + \sqrt{4a}}{2} = \sqrt{a} - \frac{1}{2} \ge 0 \Rightarrow a \ge \frac{1}{4}$

$x = (\sqrt{a} - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} = a - \sqrt{a} + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = a - \sqrt{a}$

Відповідь: якщо $a \ge 0,25$, то $x = a - \sqrt{a}$; якщо $a < 0,25$, то коренів немає.

• Підкореневий вираз перетворюється на квадрат суми $(\sqrt{x+\frac{1}{4}} + \frac{1}{2})^2$. Це дозволяє зняти зовнішній корінь без зміни знака, оскільки сума невід'ємна.
• Введення заміни $t = \sqrt{x+\frac{1}{4}}$ зводить ірраціональне рівняння до квадратного відносно нової змінної. Дискримінант має бути невід'ємним, що накладає перше обмеження на параметр $a$.
• Умова $t \ge 0$ (за ОДЗ кореня) визначає фінальний діапазон значень параметра $a \ge \frac{1}{4}$. Тільки за цієї умови знайдений корінь буде дійсним розв'язком початкового рівняння.