ГДЗ до вправи 13.20 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

$y = \sqrt{8x - x^2 - 15} \Rightarrow y^2 = -(x^2 - 8x + 16) + 1 \Rightarrow$
$(x - 4)^2 + y^2 = 1, y \ge 0$

Графік — верхнє півколо з центром $(4; 0)$ та $R = 1$.

Пряма $y = ax - 1$ проходить через точку $P(0; -1)$.

1) Проходження через лівий кінець $(3; 0)$: $0 = 3a - 1 \Rightarrow a = \frac{1}{3}$

2) Проходження через правий кінець $(5; 0)$: $0 = 5a - 1 \Rightarrow a = \frac{1}{5}$

3) Випадок дотичної: $d = \frac{|4a - 0 - 1|}{\sqrt{a^2 + 1}} = 1 \Rightarrow (4a - 1)^2 = a^2 + 1 \Rightarrow 15a^2 - 8a = 0 \Rightarrow a = \frac{8}{15}$

Рівняння має один корінь при $a \in [ \frac{1}{5} \frac{1}{3} ) \cup \{ \frac{8}{15} \}$.

Перетворимо підкореневий вираз, виділивши повний квадрат: $8x - x^2 - 15 = -(x^2 - 8x + 16) + 1 = 1 - (x - 4)^2$.

Рівняння $y = \sqrt{1 - (x - 4)^2}$ задає півколо з центром у точці $(4; 0)$ і радіусом 1, розташоване у верхній напівплощині. Область визначення: $x \in [3; 5]$.

Ліва частина рівняння $y = ax - 1$ описує пряму, яка при будь-яких значеннях параметра $a$ проходить через фіксовану точку $(0; -1)$.

Єдиний розв'язок можливий у двох випадках:

• Пряма перетинає півколо в одній точці. Це відбувається, коли пряма проходить між краєм $(5; 0)$ включно та краєм $(3; 0)$ не включно. Обчислюючи кутові коефіцієнти для цих точок, отримуємо проміжок $a \in [ \frac{1}{5} \frac{1}{3})$.
• Пряма є дотичною до півкола. Відстань від центра кола $(4; 0)$ до прямої $ax - y - 1 = 0$ має дорівнювати радіусу 1. З отриманого рівняння знаходимо $a = \frac{8}{15}$.