ГДЗ до вправи 13.20 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

$$ y = \sqrt{8x - x^2 - 15} \Rightarrow y^2 = -(x^2 - 8x + 16) + 1 \Rightarrow (x - 4)^2 + y^2 = 1, y \ge 0 $$

Графік — верхнє півколо з центром $(4; 0)$ та $R = 1$.

Пряма $y = ax - 1$ проходить через точку $P(0; -1)$.

1) Проходження через лівий кінець $(3; 0)$: $$ 0 = 3a - 1 \Rightarrow a = \frac{1}{3} $$

2) Проходження через правий кінець $(5; 0)$: $$ 0 = 5a - 1 \Rightarrow a = \frac{1}{5} $$

3) Випадок дотичної: $$ d = \frac{|4a - 0 - 1|}{\sqrt{a^2 + 1}} = 1 \Rightarrow (4a - 1)^2 = a^2 + 1 \Rightarrow 15a^2 - 8a = 0 \Rightarrow a = \frac{8}{15} $$

Рівняння має один корінь при $ a \in [ \frac{1}{5} \frac{1}{3} ) \cup \{ \frac{8}{15} \} $.

Перетворимо підкореневий вираз, виділивши повний квадрат: $ 8x - x^2 - 15 = -(x^2 - 8x + 16) + 1 = 1 - (x - 4)^2 $.

Рівняння $ y = \sqrt{1 - (x - 4)^2} $ задає півколо з центром у точці $ (4; 0) $ і радіусом 1, розташоване у верхній напівплощині. Область визначення: $ x \in [3; 5] $.

Ліва частина рівняння $ y = ax - 1 $ описує пряму, яка при будь-яких значеннях параметра $ a $ проходить через фіксовану точку $ (0; -1) $.

Єдиний розв'язок можливий у двох випадках:

• Пряма перетинає півколо в одній точці. Це відбувається, коли пряма проходить між краєм $ (5; 0) $ включно та краєм $ (3; 0) $ не включно. Обчислюючи кутові коефіцієнти для цих точок, отримуємо проміжок $ a \in [ \frac{1}{5} \frac{1}{3}) $.
• Пряма є дотичною до півкола. Відстань від центра кола $ (4; 0) $ до прямої $ ax - y - 1 = 0 $ має дорівнювати радіусу 1. З отриманого рівняння знаходимо $ a = \frac{8}{15} $.