До змісту

ГДЗ до вправи 13.19 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Умова вправи № 13.19

Для кожного значення параметра aa розв’яжіть рівняння:

2x+2+2x+1=a−x 2\sqrt{x + 2 + 2\sqrt{x + 1}} = a - x

Розв'язок вправи № 13.19

Коротке рішення

2(x+1+1)2=a−x 2\sqrt{(\sqrt{x+1}+1)^2} = a - x

2x+1+2=a−x⇒x+1+2x+1+1=a 2\sqrt{x+1} + 2 = a - x \Rightarrow x + 1 + 2\sqrt{x+1} + 1 = a

(x+1+1)2=a (\sqrt{x+1} + 1)^2 = a

x+1+1=a (оскільки x+1+1≥1, то a≥1) \sqrt{x+1} + 1 = \sqrt{a} \text{ (оскільки } \sqrt{x+1}+1 \ge 1, \text{ то } a \ge 1)

x+1=a−1 \sqrt{x+1} = \sqrt{a} - 1

x+1=(a−1)2⇒x=a−2a x + 1 = (\sqrt{a} - 1)^2 \Rightarrow x = a - 2\sqrt{a}

Відповідь: якщо a≥1 a \ge 1 , то x=a−2a x = a - 2\sqrt{a} ; якщо a<1 a < 1 , то коренів немає.

Детальне рішення

Розв’язання ірраціональних рівнянь із параметром потребує виділення повного квадрата під коренем та аналізу допустимих значень змінних. Більше про властивості таких функцій: Функції та їх властивості.

Перетворимо підкореневий вираз, представивши x+2 x+2 як (x+1)+1 (x+1)+1 . Це дозволяє згорнути вираз у квадрат суми: (x+1+1)2 (\sqrt{x+1} + 1)^2 .

Після зняття зовнішнього кореня (оскільки сума x+1+1 \sqrt{x+1}+1 завжди додатна) отримуємо рівняння, яке зручно звести до повного квадрата відносно x+1 \sqrt{x+1} .

Оскільки ліва частина рівності (x+1+1)2=a (\sqrt{x+1} + 1)^2 = a не може бути меншою за 1, рівняння має розв'язки лише при a≥1 a \ge 1 . Виразивши x x , отримуємо кінцеву формулу кореня.

Популярне у 10 класі