ГДЗ до вправи 13.19 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

$$ 2\sqrt{(\sqrt{x+1}+1)^2} = a - x $$

$$ 2\sqrt{x+1} + 2 = a - x \Rightarrow x + 1 + 2\sqrt{x+1} + 1 = a $$

$$ (\sqrt{x+1} + 1)^2 = a $$

$$ \sqrt{x+1} + 1 = \sqrt{a} \text{ (оскільки } \sqrt{x+1}+1 \ge 1, \text{ то } a \ge 1) $$

$$ \sqrt{x+1} = \sqrt{a} - 1 $$

$$ x + 1 = (\sqrt{a} - 1)^2 \Rightarrow x = a - 2\sqrt{a} $$

Відповідь: якщо $ a \ge 1 $, то $ x = a - 2\sqrt{a} $; якщо $ a < 1 $, то коренів немає.

Перетворимо підкореневий вираз, представивши $ x+2 $ як $ (x+1)+1 $. Це дозволяє згорнути вираз у квадрат суми: $ (\sqrt{x+1} + 1)^2 $.

Після зняття зовнішнього кореня (оскільки сума $ \sqrt{x+1}+1 $ завжди додатна) отримуємо рівняння, яке зручно звести до повного квадрата відносно $ \sqrt{x+1} $.

Оскільки ліва частина рівності $ (\sqrt{x+1} + 1)^2 = a $ не може бути меншою за 1, рівняння має розв'язки лише при $ a \ge 1 $. Виразивши $ x $, отримуємо кінцеву формулу кореня.