ГДЗ до вправи 14.2 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) Нехай $ \sqrt[4]{x + 5} = t, t \ge 0 $ $$ t^2 - 3t + 2 = 0 \Rightarrow t_1 = 1; t_2 = 2 $$ $$ \text{а) } x + 5 = 1^4 = 1 \Rightarrow x = -4; \quad \text{б) } x + 5 = 2^4 = 16 \Rightarrow x = 11 $$

---

2) $$ \sqrt[6]{(3 - x)^2} + 2\sqrt[6]{3 - x} - 8 = 0 \Rightarrow \sqrt[3]{3 - x} + 2\sqrt[6]{3 - x} - 8 = 0 $$ $$ \text{Нехай } \sqrt[6]{3 - x} = t, t \ge 0 \Rightarrow t^2 + 2t - 8 = 0 \Rightarrow t = 2; t = -4 \text{ (стор.)} $$ $$ 3 - x = 2^6 = 64 \Rightarrow x = -61 $$

---

3) $$ x^2 - x + 4 + \sqrt{x^2 - x + 4} = 6 $$ $$ \text{Нехай } \sqrt{x^2 - x + 4} = t, t \ge 0 \Rightarrow t^2 + t - 6 = 0 \Rightarrow t = 2; t = -3 \text{ (стор.)} $$ $$ x^2 - x + 4 = 4 \Rightarrow x(x - 1) = 0 \Rightarrow x_1 = 0; x_2 = 1 $$

---

4) Нехай $ \sqrt{\frac{3x + 2}{2x - 3}} = t, t > 0 $ $$ t + \frac{1}{t} = 2,5 \Rightarrow 2t^2 - 5t + 2 = 0 \Rightarrow t_1 = 2; t_2 = 0,5 $$ $$ \text{а) } \frac{3x + 2}{2x - 3} = 4 \Rightarrow 3x + 2 = 8x - 12 \Rightarrow 5x = 14 \Rightarrow x = 2,8 $$ $$ \text{б) } \frac{3x + 2}{2x - 3} = 0,25 \Rightarrow 12x + 8 = 2x - 3 \Rightarrow 10x = -11 \Rightarrow x = -1,1 $$

• У першому пункті під коренями один і той самий вираз, тому за $ t $ приймаємо корінь найменшого степеня ($ \sqrt[4]{...} $).
• У другому пункті перший доданок згортається у повний квадрат $ (3-x)^2 $ під коренем 6-го степеня, що після спрощення дає квадратний тричлен відносно $ \sqrt[6]{3-x} $.
• У третьому пункті штучно додаємо 4 до лівої та правої частини, щоб отримати повний вираз, який знаходиться під радикалом.
• У четвертому пункті вирази під коренями є взаємно оберненими дробами, що зводить рівняння до виду $ t + \frac{1}{t}= b $.