ГДЗ до вправи 14.1 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) Нехай $ \sqrt{x + 1} = t, t > 0 $ $$ 2t - 5 = \frac{3}{t} \Rightarrow 2t^2 - 5t - 3 = 0 \Rightarrow t = 3; t = -0,5 \text{ (стор.)} $$ $$ \sqrt{x + 1} = 3 \Rightarrow x + 1 = 9 \Rightarrow x = 8 $$

---

2) Нехай $ \sqrt{x^2 - x + 9} = t, t \ge 0 $ $$ t^2 + t = 12 \Rightarrow t^2 + t - 12 = 0 \Rightarrow t = 3; t = -4 \text{ (стор.)} $$ $$ x^2 - x + 9 = 9 \Rightarrow x(x - 1) = 0 \Rightarrow x_1 = 0; x_2 = 1 $$

---

3) Нехай $ \sqrt{\frac{x + 5}{x - 1}} = t, t > 0 $ $$ t + \frac{7}{t} = 8 \Rightarrow t^2 - 8t + 7 = 0 \Rightarrow t_1 = 1; t_2 = 7 $$ $$ \text{а) } \frac{x + 5}{x - 1} = 1 \Rightarrow x + 5 = x - 1 \Rightarrow \emptyset $$ $$ \text{б) } \frac{x + 5}{x - 1} = 49 \Rightarrow x + 5 = 49x - 49 \Rightarrow 48x = 54 \Rightarrow x = 1,125 $$

---

4) Нехай $ \sqrt[3]{x} = t, t \neq \pm 1 $ $$ \frac{t^4 - 1}{t^2 - 1} - \frac{t^2 - 1}{t + 1} = 4 \Rightarrow t^2 + 1 - (t - 1) = 4 \Rightarrow t^2 - t - 2 = 0 $$ $$ t_1 = 2; t_2 = -1 \text{ (не задов. ОДЗ)} \Rightarrow \sqrt[3]{x} = 2 \Rightarrow x = 8 $$

• У першому та третьому рівняннях заміна вводиться для всього радикала. У третьому випадку другий доданок є оберненим до першого, тому він записується як $ \frac{7}{t} $.
• У другому пункті підкореневий вираз міститься і зовні, що дозволяє замінити вираз $ x^2 - x + 9 $ на $ t^2 $.
• У четвертому пункті вирази спрощуються за формулами скороченого множення (різниця квадратів) перед введенням заміни $ t = \sqrt[3]{x} $. Важливо відстежити, щоб знаменник не дорівнював нулю.