ГДЗ до вправи 20.15 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 20.15
Чи є можливою рівність:
- $ \cos \alpha = 2 \sin 25^\circ $
- $ \sin \alpha = \sqrt{2} \cos 35^\circ $
Розв'язок вправи № 20.15
Коротке рішення
1) $ \sin 25^\circ < \sin 30^\circ = 0,5 \Rightarrow 2 \sin 25^\circ < 2 \cdot 0,5 = 1 $
$ 0 < 2 \sin 25^\circ < 1 \text{ і } |\cos \alpha| \le 1 \Rightarrow $ можливо
2) $ \cos 35^\circ > \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \sqrt{2} \cos 35^\circ > \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1 $
$ \sqrt{2} \cos 35^\circ > 1 \text{ і } |\sin \alpha| \le 1 \Rightarrow $ неможливо
Детальне рішення
Рівність можлива лише тоді, коли числове значення правої частини входить до області значень відповідної тригонометричної функції. Довідник: Тригонометричні функції.
- Область значень функцій $ y = \sin x $ та $ y = \cos x $ — це проміжок $ [-1; 1] $.
- У першому пункті порівняємо $ 2 \sin 25^\circ $ з одиницею. Оскільки синус зростає на $ [0; 90^\circ] $, то $ \sin 25^\circ $ менший за $ \sin 30^\circ $, що дорівнює 0,5. Отже, добуток менший за 1, і рівність може виконуватися.
- У другому пункті оцінимо $ \sqrt{2} \cos 35^\circ $. Косинус спадає на $ [0; 90^\circ] $, тому $ \cos 35^\circ $ більший за $ \cos 45^\circ $, що дорівнює $ \frac{\sqrt{2}}{2} $. При множенні на $ \sqrt{2} $ отримуємо результат, більший за 1, що виходить за межі можливостей синуса.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.