До змісту

ГДЗ до вправи 20.24 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Умова вправи № 20.24

Знайдіть значення виразу:

  1. 1+23⋅3−226 \sqrt[3]{1 + \sqrt{2}} \cdot \sqrt[6]{3 - 2\sqrt{2}} ;
  2. 7+434⋅2−3 \sqrt[4]{7 + 4\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{3}} .

Розв'язок вправи № 20.24

Коротке рішення

1) 1+23⋅3−226=1+23⋅(2−1)26= \sqrt[3]{1 + \sqrt{2}} \cdot \sqrt[6]{3 - 2\sqrt{2}} = \sqrt[3]{1 + \sqrt{2}} \cdot \sqrt[6]{(\sqrt{2} - 1)^2} =
=2+13⋅2−13== \sqrt[3]{\sqrt{2} + 1} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{2} - 1} =
=(2+1)(2−1)3=2−13=1= \sqrt[3]{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = \sqrt[3]{2 - 1} = 1

2) 7+434⋅2−3=(2+3)24⋅2−3= \sqrt[4]{7 + 4\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{3}} = \sqrt[4]{(2 + \sqrt{3})^2} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{3}} =
=2+3⋅2−3== \sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{3}} =
=(2+3)(2−3)=4−3=1= \sqrt{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \sqrt{4 - 3} = 1

Детальне рішення

Для обчислення значень ірраціональних виразів використовуємо виділення повного квадрата під коренем та властивості степенів. Довідник: Корені n-го степеня.

  • У першому пункті помічаємо, що 3−22=(2)2−22+1=(2−1)2 3 - 2\sqrt{2} = (\sqrt{2})^2 - 2\sqrt{2} + 1 = (\sqrt{2} - 1)^2 . Після цього корінь шостого степеня з квадрата перетворюється на корінь третього степеня, що дозволяє перемножити підкореневі вирази за формулою різниці квадратів.
  • У другому пункті вираз 7+43 7 + 4\sqrt{3} подаємо як 22+2⋅2⋅3+(3)2=(2+3)2 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (2 + \sqrt{3})^2 . Спрощуємо корінь четвертого степеня до квадратного та застосовуємо аналогічний метод множення спряжених виразів.

Популярне у 10 класі