ГДЗ до вправи 20.24 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $ \sqrt[3]{1 + \sqrt{2}} \cdot \sqrt[6]{3 - 2\sqrt{2}} = \sqrt[3]{1 + \sqrt{2}} \cdot \sqrt[6]{(\sqrt{2} - 1)^2} = \sqrt[3]{\sqrt{2} + 1} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{2} - 1} = \sqrt[3]{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = \sqrt[3]{2 - 1} = 1 $

2) $ \sqrt[4]{7 + 4\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{3}} = \sqrt[4]{(2 + \sqrt{3})^2} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{3}} = \sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{3}} = \sqrt{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \sqrt{4 - 3} = 1 $

• У першому пункті помічаємо, що $ 3 - 2\sqrt{2} = (\sqrt{2})^2 - 2\sqrt{2} + 1 = (\sqrt{2} - 1)^2 $. Після цього корінь шостого степеня з квадрата перетворюється на корінь третього степеня, що дозволяє перемножити підкореневі вирази за формулою різниці квадратів.
• У другому пункті вираз $ 7 + 4\sqrt{3} $ подаємо як $ 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (2 + \sqrt{3})^2 $. Спрощуємо корінь четвертого степеня до квадратного та застосовуємо аналогічний метод множення спряжених виразів.