ГДЗ до вправи 23.6 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) Чисельник: $ \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta - \sin \beta \cos \alpha = \sin \alpha \cos \beta $

Знаменник: $ \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta + \sin \beta \cos \alpha = \sin \alpha \cos \beta $

Лів. ч.: $ \frac{\sin \alpha \cos \beta}{\sin \alpha \cos \beta} = 1 $. Доведено.

2) Чисельник: $ \sqrt{2} \cos \alpha - 2 (\sin 45^\circ \cos \alpha - \cos 45^\circ \sin \alpha) = \sqrt{2} \cos \alpha - 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha) = \sqrt{2} \cos \alpha - \sqrt{2} \cos \alpha + \sqrt{2} \sin \alpha = \sqrt{2} \sin \alpha $

Знаменник: $ 2 (\sin 60^\circ \cos \alpha + \cos 60^\circ \sin \alpha) - \sqrt{3} \cos \alpha = 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha + \frac{1}{2} \sin \alpha) - \sqrt{3} \cos \alpha = \sqrt{3} \cos \alpha + \sin \alpha - \sqrt{3} \cos \alpha = \sin \alpha $

Лів. ч.: $ \frac{\sqrt{2} \sin \alpha}{\sin \alpha} = \sqrt{2} $. Доведено.

• У першому пункті після розкладання $ \sin (\alpha \pm \beta) $ за формулами суми та різниці, доданки $ \cos \alpha \sin \beta $ в чисельнику та знаменнику взаємно знищуються з відповідними виразами. Отриманий дріб дорівнює одиниці.
• У другому пункті підставляємо значення $ \sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $ та $ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $, $ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $. Після розкриття дужок та спрощення виразу залишається стале відношення, що дорівнює $ \sqrt{2} $.