До змісту

ГДЗ до вправи 23.6 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Умова вправи № 23.6

Доведіть тотожність:

  1. sin⁡(α+β)−sin⁡βcos⁡αsin⁡(α−β)+sin⁡βcos⁡α=1 \frac{\sin (\alpha + \beta) - \sin \beta \cos \alpha}{\sin (\alpha - \beta) + \sin \beta \cos \alpha} = 1 ;
  2. 2cos⁡α−2sin⁡(45∘−α)2sin⁡(60∘+α)−3cos⁡α=2 \frac{\sqrt{2} \cos \alpha - 2 \sin (45^\circ - \alpha)}{2 \sin (60^\circ + \alpha) - \sqrt{3} \cos \alpha} = \sqrt{2} .

Розв'язок вправи № 23.6

Коротке рішення

1) Чисельник: sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β−sin⁡βcos⁡α=sin⁡αcos⁡β \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta - \sin \beta \cos \alpha = \sin \alpha \cos \beta

Знаменник: sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β+sin⁡βcos⁡α=sin⁡αcos⁡β \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta + \sin \beta \cos \alpha = \sin \alpha \cos \beta

Лів. ч.: sin⁡αcos⁡βsin⁡αcos⁡β=1 \frac{\sin \alpha \cos \beta}{\sin \alpha \cos \beta} = 1 . Доведено.

2) Чисельник: 2cos⁡α−2(sin⁡45∘cos⁡α−cos⁡45∘sin⁡α)= \sqrt{2} \cos \alpha - 2 (\sin 45^\circ \cos \alpha - \cos 45^\circ \sin \alpha) =
=2cos⁡α−2(22cos⁡α−22sin⁡α)== \sqrt{2} \cos \alpha - 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha) =
=2cos⁡α−2cos⁡α+2sin⁡α=2sin⁡α= \sqrt{2} \cos \alpha - \sqrt{2} \cos \alpha + \sqrt{2} \sin \alpha = \sqrt{2} \sin \alpha

Знаменник: 2(sin⁡60∘cos⁡α+cos⁡60∘sin⁡α)−3cos⁡α= 2 (\sin 60^\circ \cos \alpha + \cos 60^\circ \sin \alpha) - \sqrt{3} \cos \alpha =
=2(32cos⁡α+12sin⁡α)−3cos⁡α== 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha + \frac{1}{2} \sin \alpha) - \sqrt{3} \cos \alpha =
=3cos⁡α+sin⁡α−3cos⁡α=sin⁡α= \sqrt{3} \cos \alpha + \sin \alpha - \sqrt{3} \cos \alpha = \sin \alpha

Лів. ч.: 2sin⁡αsin⁡α=2 \frac{\sqrt{2} \sin \alpha}{\sin \alpha} = \sqrt{2} . Доведено.

Детальне рішення

Для розв'язання вправи необхідно скористатися основними формулами додавання для функцій синуса. Довідник: Тригонометричні формули.

  • У першому пункті після розкладання sin⁡(α±β) \sin (\alpha \pm \beta) за формулами суми та різниці, доданки cos⁡αsin⁡β \cos \alpha \sin \beta в чисельнику та знаменнику взаємно знищуються з відповідними виразами. Отриманий дріб дорівнює одиниці.
  • У другому пункті підставляємо значення sin⁡45∘=cos⁡45∘=22 \sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} та sin⁡60∘=32 \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} , cos⁡60∘=12 \cos 60^\circ = \frac{1}{2} . Після розкриття дужок та спрощення виразу залишається стале відношення, що дорівнює 2 \sqrt{2} .

Популярне у 10 класі