ГДЗ до вправи 23.20 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 23.20
Спростіть вираз:
- $ \text{tg } 80^\circ - \text{tg } 20^\circ - \sqrt{3} \text{ tg } 80^\circ \text{ tg } 20^\circ $;
- $ \text{tg } 35^\circ + \text{tg } 10^\circ + \text{tg } 35^\circ \text{ tg } 10^\circ $.
Розв'язок вправи № 23.20
Коротке рішення
1) $ \text{tg } 80^\circ - \text{tg } 20^\circ = \text{tg}(80^\circ - 20^\circ)(1 + \text{tg } 80^\circ \text{ tg } 20^\circ) =$
$= \sqrt{3}(1 + \text{tg } 80^\circ \text{ tg } 20^\circ) = \sqrt{3} + \sqrt{3} \text{ tg } 80^\circ \text{ tg } 20^\circ $
$ \sqrt{3} + \sqrt{3} \text{ tg } 80^\circ \text{ tg } 20^\circ - \sqrt{3} \text{ tg } 80^\circ \text{ tg } 20^\circ = \sqrt{3} $
2) $ \text{tg } 35^\circ + \text{tg } 10^\circ = \text{tg}(35^\circ + 10^\circ)(1 - \text{tg } 35^\circ \text{ tg } 10^\circ) =$
$= 1(1 - \text{tg } 35^\circ \text{ tg } 10^\circ) = 1 - \text{tg } 35^\circ \text{ tg } 10^\circ $
$ 1 - \text{tg } 35^\circ \text{ tg } 10^\circ + \text{tg } 35^\circ \text{ tg } 10^\circ = 1 $
Детальне рішення
Розв'язання базується на перетворенні формули тангенса суми та різниці двох кутів. Теорія: Тригонометричні формули.
- У першому пункті помічаємо, що різниця аргументів $ 80^\circ - 20^\circ = 60^\circ $, а $ \text{tg } 60^\circ = \sqrt{3} $. Використовуючи формулу $ \text{tg } \alpha - \text{tg } \beta = \text{tg}(\alpha - \beta)(1 + \text{tg } \alpha \text{ tg } \beta) $, ми замінюємо перші два доданки. Після розкриття дужок ірраціональні частини з тангенсами скорочуються.
- У другому пункті аргументи $ 35^\circ $ та $ 10^\circ $ у сумі дають $ 45^\circ $, значення тангенса якого дорівнює $ 1 $. Застосування формули тангенса суми $ \text{tg } \alpha + \text{tg } \beta = \text{tg}(\alpha + \beta)(1 - \text{tg } \alpha \text{ tg } \beta) $ дозволяє спростити вираз до одиниці.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.