ГДЗ до вправи 23.17 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 23.17
Користуючись формулами додавання, знайдіть:
- $ \sin 15^\circ $;
- $ \sin 105^\circ $;
- $ \text{ctg } 105^\circ $.
Розв'язок вправи № 23.17
Коротке рішення
1) $ \sin 15^\circ = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} $
2) $ \sin 105^\circ = \sin(60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $
3) $ \text{ctg } 105^\circ = \frac{1}{\text{tg}(60^\circ + 45^\circ)} = \frac{1 - \text{tg } 60^\circ \text{ tg } 45^\circ}{\text{tg } 60^\circ + \text{tg } 45^\circ} = \frac{1 - \sqrt{3} \cdot 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(1 - \sqrt{3})(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{2\sqrt{3} - 4}{2} = \sqrt{3} - 2 $
Детальне рішення
Для обчислення значень тригонометричних функцій нетабличних кутів їх представляють у вигляді суми або різниці кутів, значення яких відомі. Теорія: Формули додавання.
- У першому пункті кут $ 15^\circ $ розкладено як різницю $ 45^\circ $ та $ 30^\circ $. Застосовано формулу синуса різниці аргументів та підставлено відповідні табличні значення.
- У другому пункті значення $ 105^\circ $ отримано шляхом додавання табличних кутів $ 60^\circ $ та $ 45^\circ $. Використано формулу синуса суми.
- У третьому пункті котангенс обчислено як величину, обернену до тангенса суми. Для отримання остаточної відповіді виконано звільнення від ірраціональності в знаменнику дробу.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.