ГДЗ до вправи 23.15 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 23.15
Спростіть вираз:
- $ \cos \frac{\alpha}{2} \text{ctg } \frac{\alpha}{4} + \sin \frac{\alpha}{2} $;
- $ \frac{1}{1 + \text{tg } \alpha \text{ tg } 2\alpha} $.
Розв'язок вправи № 23.15
Коротке рішення
1) $ \cos \frac{\alpha}{2} \cdot \frac{\cos \frac{\alpha}{4}}{\sin \frac{\alpha}{4}} + \sin \frac{\alpha}{2} = \frac{\cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{4} + \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\alpha}{4}}{\sin \frac{\alpha}{4}} = \frac{\cos (\frac{\alpha}{2} - \frac{\alpha}{4})}{\sin \frac{\alpha}{4}} = \frac{\cos \frac{\alpha}{4}}{\sin \frac{\alpha}{4}} = \text{ctg } \frac{\alpha}{4} $
2) $ \frac{1}{1 + \frac{\sin \alpha \sin 2\alpha}{\cos \alpha \cos 2\alpha}} = \frac{\cos \alpha \cos 2\alpha}{\cos \alpha \cos 2\alpha + \sin \alpha \sin 2\alpha} = \frac{\cos \alpha \cos 2\alpha}{\cos (2\alpha - \alpha)} = \frac{\cos \alpha \cos 2\alpha}{\cos \alpha} = \cos 2\alpha $
Детальне рішення
Спрощення тригонометричних виразів базується на використанні формул додавання та перетворенні тангенса й котангенса через синус і косинус. Теорія: Формули додавання.
- У першому пункті подаємо котангенс як відношення косинуса до синуса. Після зведення до спільного знаменника в чисельнику утворюється структура формули косинуса різниці аргументів, що дозволяє значно спростити вираз.
- У другому пункті перетворюємо тангенси у знаменнику. Після зведення знаменника дробу до спільного знаменника та його спрощення за допомогою формули косинуса різниці, виконуємо ділення та отримуємо кінцеву відповідь.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.