ГДЗ до вправи 23.26 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Нехай $x = \frac{\pi}{4} - \alpha \Rightarrow \alpha = \frac{\pi}{4} - x$.

$\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \Rightarrow \frac{\pi}{4} - \frac{3\pi}{2} < x < \frac{\pi}{4} - \pi \Rightarrow -\frac{5\pi}{4} < x < -\frac{3\pi}{4}$

Оскільки $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{10} < 0$, то $x \in \left( -\pi; -\frac{3\pi}{4} \right)$ (III чв.) $\Rightarrow \cos x < 0$.

$\cos x = -\sqrt{1 - \sin^2 x} = -\sqrt{1 - \frac{2}{100}} = -\sqrt{\frac{98}{100}} = -\frac{7\sqrt{2}}{10}$

$\sin \alpha = \sin \left( \frac{\pi}{4} - x \right) = \sin \frac{\pi}{4} \cos x - \cos \frac{\pi}{4} \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left( -\frac{7\sqrt{2}}{10} \right) - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left( -\frac{\sqrt{2}}{10} \right) = -0,7 + 0,1 = -0,6$

• Вводимо допоміжну змінну $x$ для спрощення виразу. Визначаємо межі зміни $x$ на основі заданого інтервалу для $\alpha$.
• Уточнивши чверть (III), де і синус, і косинус від'ємні, знаходимо значення $\cos x$ за основною тотожністю.
• Застосовуємо формулу синуса різниці для виразу $\sin(\frac{\pi}{4} - x)$.
• Підставляємо числові значення. Після перемноження дробів та скорочення отримуємо десятковий результат $-0,6$.