ГДЗ до вправи 23.29 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 23.29
Дано: $\text{tg } \alpha = \frac{1}{4}$, $\text{tg } \beta = \frac{5}{3}$, $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$. Знайдіть $\alpha - \beta$.
Розв'язок вправи № 23.29
Коротке рішення
$\text{tg} (\alpha - \beta) = \frac{\text{tg } \alpha - \text{tg } \beta}{1 + \text{tg } \alpha \text{ tg } \beta} = \frac{\frac{1}{4} - \frac{5}{3}}{1 + \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{3}} = \frac{\frac{3 - 20}{12}}{\frac{12 + 5}{12}} = \frac{-\frac{17}{12}}{\frac{17}{12}} = -1$
$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}, \quad 0 < \beta < \frac{\pi}{2} \Rightarrow -\frac{\pi}{2} < \alpha - \beta < \frac{\pi}{2}$
$\text{tg} (\alpha - \beta) = -1 \Rightarrow \alpha - \beta = -\frac{\pi}{4}$
Відповідь: $-\frac{\pi}{4}$.
Детальне рішення
Знаходження різниці кутів базується на обчисленні тангенса цієї різниці та визначенні відповідного значення аргументу в заданому діапазоні. Теорія: Формули додавання.
- Використовуємо формулу тангенса різниці двох кутів: $\text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg } \alpha - \text{tg } \beta}{1 + \text{tg } \alpha \text{ tg } \beta}$.
- Підставляємо значення тангенсів, дані за умовою: $\text{tg } \alpha = \frac{1}{4}$ та $\text{tg } \beta = \frac{5}{3}$. Після зведення дробів до спільного знаменника отримуємо результат $-1$.
- Аналізуємо область можливих значень для $\alpha - \beta$. Оскільки обидва кути належать першій чверті, їхня різниця знаходиться в межах від $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$.
- У цьому інтервалі тангенс дорівнює $-1$ лише в одній точці — $-\frac{\pi}{4}$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.