ГДЗ до вправи 23.27 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Нехай $x = 5^\circ + \alpha$. Тоді $35^\circ + \alpha = 30^\circ + x$.

$0^\circ < \alpha < 55^\circ \Rightarrow 5^\circ < x < 60^\circ \Rightarrow \sin x = \sqrt{1 - 0,6^2} = 0,8 \Rightarrow \text{tg } x = \frac{0,8}{0,6} = \frac{4}{3}$

$\text{tg } (30^\circ + x) = \frac{\text{tg } 30^\circ + \text{tg } x}{1 - \text{tg } 30^\circ \text{ tg } x} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{4}{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{4}{3}} = \frac{4 + \sqrt{3}}{3 - \frac{4\sqrt{3}}{3}} = \frac{3(4 + \sqrt{3})}{9 - 4\sqrt{3}} = \frac{48 + 25\sqrt{3}}{11}$

• Спочатку представимо шуканий кут $35^\circ + \alpha$ як суму $30^\circ + (5^\circ + \alpha)$, що дозволяє використати дану в умові величину косинуса.
• Аналізуємо проміжок значень: оскільки $\alpha$ змінюється від $0^\circ$ до $55^\circ$, аргумент $(5^\circ + \alpha)$ лежить у першій чверті. Це означає, що синус та тангенс цього кута будуть додатними.
• Знаходимо $\sin(5^\circ + \alpha)$ за основною тригонометричною тотожністю та обчислюємо значення тангенса як відношення синуса до косинуса.
• Застосовуємо формулу тангенса суми: $\text{tg}(A + B) = \frac{\text{tg } A + \text{tg } B}{1 - \text{tg } A \text{ tg } B}$. Після підстановки значень та спрощення ірраціонального дробу отримуємо фінальну відповідь.