ГДЗ до вправи 23.28 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 23.28
Дано: $\sin (40^\circ + \alpha) = b$, $0^\circ < \alpha < 45^\circ$. Знайдіть $\cos (70^\circ + \alpha)$.
Розв'язок вправи № 23.28
Коротке рішення
Нехай $x = 40^\circ + \alpha$. Тоді $70^\circ + \alpha = 30^\circ + x$.
$0^\circ < \alpha < 45^\circ \Rightarrow 40^\circ < x < 85^\circ \Rightarrow \cos x = \sqrt{1 - b^2}$
$\cos (30^\circ + x) = \cos 30^\circ \cos x - \sin 30^\circ \sin x =$
$= \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{1 - b^2} - \frac{1}{2} \cdot b = \frac{\sqrt{3(1 - b^2)} - b}{2}$
Детальне рішення
Розв'язання задачі базується на представленні кута через суму відомого табличного значення та заданого виразу. Теорія: Тригонометричні формули додавання.
- Перетворюємо шуканий кут $70^\circ + \alpha$ у вигляд $30^\circ + (40^\circ + \alpha)$. Це дозволяє пов'язати шукану величину з параметром $b$, що дорівнює синусу кута $(40^\circ + \alpha)$.
- Визначаємо область значень для кута $x = 40^\circ + \alpha$. Оскільки за умовою $\alpha \in (0^\circ; 45^\circ)$, то кут $x$ знаходиться в межах $(40^\circ; 85^\circ)$, тобто в першій чверті. Це гарантує додатне значення косинуса.
- Знаходимо $\cos(40^\circ + \alpha)$ через основну тотожність: $\sqrt{1 - \sin^2(40^\circ + \alpha)} = \sqrt{1 - b^2}$.
- Застосовуємо формулу косинуса суми: $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$. Після підстановки табличних значень для $30^\circ$ та введених позначень отримуємо кінцевий вираз.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.