ГДЗ до вправи 28.10 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 28.10
Розв'яжіть рівняння:
- $\sin x - \sqrt{3} \cos x = 1$;
- $\sin x + \cos x = \sqrt{2}$.
Розв'язок вправи № 28.10
Коротке рішення
1) $\frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow \sin \left( x - \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2} \Rightarrow x - \frac{\pi}{3} = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{3} + (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2) $\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x = 1 \Rightarrow \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = 1 \Rightarrow x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Детальне рішення
Застосування методу допоміжного кута перетворює ліву частину рівняння на компактну тригонометричну функцію одного аргументу. Довідник: Тригонометричні рівняння.
- У першому рівнянні ділимо на 2. Різниця перетворюється на синус з аргументом, зміщеним на $60^\circ$ ($\frac{\pi}{3}$). Після застосування загальної формули арксинуса знаходимо множину значень $x$.
- У другому рівнянні після ділення на $\sqrt{2}$ отримуємо суму синуса та косинуса з однаковими коефіцієнтами $\frac{\sqrt{2}}{2}$, що відповідає куту $45^\circ$ ($\frac{\pi}{4}$). Рівняння зводиться до окремого випадку $\sin t = 1$, що дає одну серію коренів.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.