ГДЗ до вправи 28.13 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

$\sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Знайдемо корені рівняння, починаючи від $-\frac{\pi}{2}$ у порядку зростання:

$x_1 = \frac{\pi}{6}$ (при $k=0$)

$x_2 = \frac{5\pi}{6}$ (при $k=1$)

$x_3 = 2\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{13\pi}{6}$ (при $k=2$)

$x_4 = 3\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{17\pi}{6}$ (при $k=3$)

Умова: проміжок $\left[ -\frac{\pi}{2}; a \right]$ містить $\ge 4$ корені $\Rightarrow a \ge x_4$.

$a \ge \frac{17\pi}{6}$.

Відповідь: $a \in [\frac{17\pi}{6}; +\infty)$.

• Корені синуса: Рівняння $\sin x = 0,5$ має дві основні серії розв'язків: $30^\circ$ та $150^\circ$ (з урахуванням періоду).
• Впорядкування на промені: Оскільки ліва межа $-\frac{\pi}{2}$ ($-90^\circ$) менша за перший додатний корінь, ми просто виписуємо наступні значення. Перші два корені знаходяться на першому оберті кола, наступні два — на другому.
• Висновок для параметра: Четвертий за рахунком корінь — це $\frac{17\pi}{6}$. Щоб він увійшов до заданого відрізка, число $a$ має бути не меншим за цей корінь.