ГДЗ до вправи 28.12 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $\sin \frac{3\pi}{\sqrt{x}} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \frac{3\pi}{\sqrt{x}} = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + \pi k \Rightarrow \frac{3}{\sqrt{x}} = \frac{(-1)^{k+1} + 3k}{3}$.

$\sqrt{x} = \frac{9}{3k + (-1)^{k+1}}$. Оскільки $\sqrt{x} > 0$, то $3k + (-1)^{k+1} > 0$, що виконується при $k \in \mathbb{N}$.

$x = \left( \frac{9}{3k + (-1)^{k+1}} \right)^2, k \in \mathbb{N}$.

---

2) $\cos (\pi \sin x) = 0 \Rightarrow \pi \sin x = \frac{\pi}{2} + \pi k \Rightarrow \sin x = \frac{1}{2} + k, k \in \mathbb{Z}$.

Оскільки $-1 \le \sin x \le 1$, можливі лише два випадки:

$\sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$;

$\sin x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Узагальнена відповідь: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

• У першому рівнянні аргумент містить невідому у знаменнику під коренем. Після вираження $\sqrt{x}$ необхідно переконатися, що вираз у знаменнику правої частини додатний, щоб задовольнити умови існування квадратного кореня.
• У другому рівнянні після застосування формули окремого випадку для косинуса ($\cos t = 0$) отримуємо лінійне рівняння для синуса. Обмеження області значень синуса залишає лише два робочих значення для цілого числа $k$ ($0$ та $-1$), що дає дві серії коренів.