ГДЗ до вправи 28.8 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

$\sin 3x = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow 3x = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k \Rightarrow x = \frac{(-1)^k \pi}{12} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$

Проміжок: $\left[ -\frac{18\pi}{12}; \frac{6\pi}{12} \right]$. Перевіримо $k$:

$k = 0 \Rightarrow x_1 = \frac{\pi}{12} \in \text{пром.}; \quad k = 1 \Rightarrow x_2 = \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{4} \in \text{пром.}$

$k = -1 \Rightarrow x_3 = -\frac{5\pi}{12} \in \text{пром.}; \quad k = -2 \Rightarrow x_4 = -\frac{7\pi}{12} \in \text{пром.}$

$k = -3 \Rightarrow x_5 = -\frac{13\pi}{12} \in \text{пром.}; \quad k = -4 \Rightarrow x_6 = -\frac{15\pi}{12} = -\frac{5\pi}{4} \in \text{пром.}$

$k = 2 \Rightarrow x > \frac{\pi}{2}; \quad k = -5 \Rightarrow x = -\frac{21\pi}{12} = -\frac{7\pi}{4} < -\frac{3\pi}{2}$.

Відповідь: 6 коренів.

• Загальна множина: Знаходимо $3x$ за стандартною формулою для синуса, де арксинус $\frac{\sqrt{2}}{2}$ дорівнює $45^\circ$. Ділимо результат на 3, що зменшує період до $\frac{\pi}{3}$.
• Техніка відбору: Для зручності порівняння зводимо межі проміжку до знаменника 12. Це дозволяє швидко відфільтровувати значення, отримані при підстановці цілих чисел $k$.
• Кількісний аналіз: При зміні $k$ від $-4$ до $1$ ми отримуємо шість точок, які послідовно розташовані всередині інтервалу. Подальше збільшення або зменшення $k$ призводить до виходу за межі відрізка.