ГДЗ до вправи 28.14 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

$\sin x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Знайдемо від’ємні корені рівняння, починаючи від 0 у порядку спадання:

$x_1 = -\frac{\pi}{6}$ (при $k=0$)

$x_2 = -\frac{5\pi}{6}$ (при $k=-1$)

$x_3 = -2\pi - \frac{\pi}{6} = -\frac{13\pi}{6}$ (при $k=-2$)

Умова: проміжок $[a; 0]$ містить $\ge 3$ корені $\Rightarrow a \le x_3$.

$a \le -\frac{13\pi}{6}$.

Відповідь: $a \in (-\infty; -\frac{13\pi}{6}]$.

• Корені рівняння: Значенню $-0,5$ відповідають кути четвертої та третьої чвертей. Рухаючись від нуля ліворуч, ми зустрічаємо $-\frac{\pi}{6}$ ($ -30^\circ$) та $-\frac{5\pi}{6}$ ($ -150^\circ$).
• Третій корінь: Наступний від’ємний розв’язок з’являється після повного оберту у від’ємному напрямку ($ -2\pi$ або $-360^\circ$). Він становить $-2\pi - \frac{\pi}{6} = -\frac{13\pi}{6}$.
• Аналіз параметра: Оскільки проміжок закінчується в нулі, його ліва межа $a$ повинна бути "лівішою" за третій корінь або збігатися з ним, щоб забезпечити наявність трьох розв’язків. Це дає нерівність $a \le -\frac{13\pi}{6}$.