ГДЗ до вправи 31.9 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $2 \sin 2x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} \Rightarrow 2 \sin 2x = \frac{1}{\sin x \cos x} \Rightarrow 2 \sin 2x = \frac{2}{\sin 2x} \Rightarrow \sin^2 2x = 1$.

$\sin 2x = \pm 1 \Rightarrow 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

Відповідь: $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

---

2) $3 \cos x + \frac{2 \sin x}{\cos x} = 0 \Rightarrow 3 \cos^2 x + 2 \sin x = 0 \Rightarrow 3(1 - \sin^2 x) + 2 \sin x = 0$

$3 \sin^2 x - 2 \sin x - 3 = 0, D = 40, \sin x = \frac{1 - \sqrt{10}}{3} \Rightarrow x = (-1)^{n+1} \arcsin \frac{\sqrt{10}-1}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Відповідь: $(-1)^{n+1} \arcsin \frac{\sqrt{10}-1}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

---

3) $3 + 5 \cos x = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x) \Rightarrow 3 + 5 \cos x = -\cos 2x$

$3 + 5 \cos x = 1 - 2 \cos^2 x \Rightarrow 2 \cos^2 x + 5 \cos x + 2 = 0 \Rightarrow \cos x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Відповідь: $\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

---

4) $\cos 2x - 9 \cos x + 6 = 2(1 - \cos x) \Rightarrow 2 \cos^2 x - 1 - 9 \cos x + 6 = 2 - 2 \cos x$

$2 \cos^2 x - 7 \cos x + 3 = 0 \Rightarrow \cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Відповідь: $\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

• У першому пункті використано зв’язок тангенса та котангенса із синусом подвійного кута. Важливо враховувати ОДЗ: $x \neq \frac{\pi n}{2}$.
• У другому пункті після зведення до спільного знаменника та заміни $\cos^2 x$ на $1 - \sin^2 x$ отримано квадратне рівняння відносно $\sin x$. Один із коренів відкинуто через обмеження $|t| \le 1$.
• У третьому пункті застосовано формулу різниці квадратів для правої частини, що дозволило перейти до рівняння відносно косинуса.
• У четвертому пункті використано формули подвійного та половинного кутів для отримання квадратного рівняння відносно $\cos x$.