ГДЗ до вправи 32.2 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 32.2
Розв'яжіть рівняння:
- $\cos 9x - \cos x = 0$;
- $\sqrt{2} \cos x \text{ ctg } x - 3\sqrt{2} \cos x + \text{ ctg } x - 3 = 0$.
Розв'язок вправи № 32.2
Коротке рішення
1) $\cos 9x - \cos x = 0 \Rightarrow -2 \sin 5x \sin 4x = 0$
— $\sin 5x = 0 \Rightarrow 5x = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$
— $\sin 4x = 0 \Rightarrow 4x = \pi k \Rightarrow x = \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$
Відповідь: $\frac{\pi n}{5}, \frac{\pi k}{4}, n, k \in \mathbb{Z}$.
2) $\sqrt{2} \cos x (\text{ ctg } x - 3) + (\text{ ctg } x - 3) = 0 \Rightarrow $
$(\sqrt{2} \cos x + 1)(\text{ ctg } x - 3) = 0$
— $\cos x = -\frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
— $\text{ctg } x = 3 \Rightarrow x = \text{arcctg } 3 + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
Відповідь: $\pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \text{arcctg } 3 + \pi k, n, k \in \mathbb{Z}$.
Детальне рішення
При розв'язанні рівнянь з кількома тригонометричними функціями важливо використовувати методи перетворення в добуток, що дозволяє звести задачу до розв'язання сукупності найпростіших рівнянь. Теорія: Методи розв'язування тригонометричних рівнянь.
- У першому завданні використано формулу різниці косинусів: $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2}$. Отриманий добуток синусів дорівнює нулю, коли хоча б один із множників дорівнює нулю.
- У другому завданні застосовано метод групування: з перших двох доданків винесено $\sqrt{2} \cos x$. Після виділення спільного множника $(\text{ctg } x - 3)$ рівняння розпалося на дві гілки розв'язання. При знаходженні коренів арккотангенса враховано, що це нетабличне значення.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.