ГДЗ до вправи 32.1 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $\sin 5x - \sin x = 0 \Rightarrow 2 \sin 2x \cos 3x = 0$

— $\sin 2x = 0 \Rightarrow 2x = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$

— $\cos 3x = 0 \Rightarrow 3x = \frac{\pi}{2} + \pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$

Відповідь: $\frac{\pi n}{2}, \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, n, k \in \mathbb{Z}$.

---

2) $2 \sin x (\text{ tg } x + \sqrt{3}) - (\text{ tg } x + \sqrt{3}) = 0 \Rightarrow (2 \sin x - 1)(\text{ tg } x + \sqrt{3}) = 0$

— $\sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

— $\text{tg } x = -\sqrt{3} \Rightarrow x = -\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Відповідь: $(-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, -\frac{\pi}{3} + \pi k, n, k \in \mathbb{Z}$.

• У першому рівнянні застосовано формулу різниці синусів: $\sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2}$. Рівняння розпадається на два найпростіші, кожне з яких дає свою серію розв'язків.
• У другому рівнянні використано метод групування: перші два доданки мають спільний множник $2 \sin x$, а останні два — мінус одиницю. Це дозволяє виділити спільну дужку $(\text{tg } x + \sqrt{3})$. Важливо враховувати ОДЗ для тангенса ($x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$), хоча знайдені корені їй задовольняють.