ГДЗ до вправи 32.37 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $\sqrt{x - 2} \sin \pi x = 0$

ОДЗ: $x - 2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2$.

$\left[ \begin{gathered} \sqrt{x - 2} = 0 \\ \sin \pi x = 0 \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} x = 2 \\ \pi x = \pi n \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} x = 2 \\ x = n, n \in \mathbb{Z} \end{gathered} \right.$

З урахуванням ОДЗ: $x = n, n \in \mathbb{Z}, n \ge 2$.

Відповідь: $n, n \in \mathbb{Z}, n \ge 2$.

2) $\sqrt{25 - 4x^2} (3 \sin 2\pi x + 8 \sin \pi x) = 0$

ОДЗ: $25 - 4x^2 \ge 0 \Rightarrow x^2 \le \frac{25}{4} \Rightarrow x \in [-2,5; 2,5]$.

— $\sqrt{25 - 4x^2} = 0 \Rightarrow x = \pm 2,5$.

— $6 \sin \pi x \cos \pi x + 8 \sin \pi x = 0 \Rightarrow 2 \sin \pi x (3 \cos \pi x + 4) = 0 \Rightarrow $
$\sin \pi x = 0$ або $\cos \pi x = -\frac{4}{3}$ (н/в).

$\sin \pi x = 0 \Rightarrow x = n, n \in \mathbb{Z}$. З урахуванням ОДЗ: $x \in \{0, \pm 1, \pm 2\}$.

Відповідь: $\pm 2,5; 0; \pm 1; \pm 2$.

• У першому рівнянні ми встановлюємо межу для значень $x$. Оскільки синус періодична функція, він має безліч коренів, проте нас цікавлять лише ті, що лежать праворуч від точки 2 на числовій осі.
• У другому рівнянні область допустимих значень обмежена відрізком. Після застосування формули синуса подвійного кута та винесення спільного множника ми отримуємо цілі корені, що потрапляють у заданий інтервал, а також ірраціональні межі самого інтервалу.