ГДЗ до вправи 32.42 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $\sqrt{\cos x} \sin x = 0 \Rightarrow \text{ОДЗ: } \cos x \ge 0$

— $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n$; — $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi k$. З урахуванням ОДЗ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n; \quad x = 2\pi k$.

Відповідь: $\frac{\pi}{2} + \pi n, 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sqrt{\cos x - \frac{\sqrt{2}}{2}} \sin x = 0 \Rightarrow \text{ОДЗ: } \cos x \ge \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow $
$x \in [-\frac{\pi}{4} + 2\pi n; \frac{\pi}{4} + 2\pi n]$

— $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$; — $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi k$. З урахуванням ОДЗ: $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n; \quad x = 2\pi k$.

Відповідь: $\pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) $\sqrt{\sin x} (4 - 5 \cos x - 2 \sin^2 x) = 0 \Rightarrow \text{ОДЗ: } \sin x \ge 0$

— $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n$.

— $4 - 5 \cos x - 2(1 - \cos^2 x) = 0 \Rightarrow 2 \cos^2 x - 5 \cos x + 2 = 0 \Rightarrow $
$\cos x = 0,5$ ($\cos x = 2$ н/в).

$\cos x = 0,5$ при $\sin x \ge 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$.

Відповідь: $\pi n, \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

• У першому та другому рівняннях розв’язуються дві гілки: корінь дорівнює нулю або інша частина виразу дорівнює нулю. Усі результати фільтруються через умову невід’ємності косинуса.
• У третьому завданні тригонометрична частина зводиться до квадратного рівняння відносно $\cos x$ за допомогою основної тотожності. Отримані значення косинуса перевіряються через знак синуса: корінь входить у відповідь лише в тому разі, якщо він лежить у верхній півплощині одиничного кола.